Wir machen zunächst eine Vorüberlegung.

Sei \( (b_1, \dots, b_n) \) eine Basis von \(V\). Dann ist auch \( (f(b_1), \dots, f(b_n)) \) eine Basis von \(V\), denn:

Aus \( \sum_{i=1}^n \lambda_i f(b_i) = 0 \) folgt für alle \(v \in V\)

\( \varphi(\sum_{i=1}^n \lambda_i b_i, v) = \sum_{i=1}^n \lambda_i \varphi(b_i,v) = \sum_{i=1}^n \lambda_i \varphi(f(b_i),f(v)) = \varphi( \sum_{i=1}^n \lambda_i f(b_i),f(v) ) = \varphi(0,f(v))=0 \)

und somit (da \( \varphi\) nicht-entartet ist) \( \sum_{i=1}^n \lambda_i b_i = 0 \), also \( \lambda_i = 0\) für alle \(i \in \{1, \dots, n\} \).

Nun zum Beweis der Linearität.

Seien \(x,y \in V\) und \(a \in \mathbb{R}\) und sei weiterhin \((b_1, \dots, b_n)\) eine Basis von \(V\). Dann gilt für \(i \in \{1, \dots, n\}\)

\( \varphi(f(b_i),af(x)+f(y)-f(ax+y)) \) \( = a\varphi(f(b_i),f(x))+\varphi(f(b_i),f(y))-\varphi(f(b_i),f(ax+y)) \) \( = a \varphi(b_i,x)+\varphi(b_i,y)-\varphi(b_i,ax+y) = 0 \)

Für alle \(v \in V\), \(v = \sum_{i=1}^n \lambda_i f(b_i) \), gilt also

\( \varphi(v, af(x)+f(y)-f(ax+y)) \) \(= \sum_{i=1}^n \lambda_i \varphi(f(b_i), af(x)+f(y)-f(ax+y)) = 0 \)

und somit (da \( \varphi\) nicht-entartet ist) \( af(x)+f(y)-f(ax+y)=0 \) bzw. \(f(ax+y)=af(x)+f(y) \).