Man zeige: f ist linear

Aufrufe: 534     Aktiv: 29.06.2020 um 14:10

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Hallo liebe Community,

ich komme bei dieser Aufgabe gerade leider ins stocken. Ich soll in dieser Aufgabe zeigen, dass f linear ist. Das heißt ich muss die Kriterien der Additivtät und Homogenität prüfen. Leider ist mir nicht ganz klar wie genau ich das machen soll. Ich hoffe ich finde hier jemanden der mir bei der Lösung helfen kann.

 

LG

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Wir machen zunächst eine Vorüberlegung.

Sei \( (b_1, \dots, b_n) \) eine Basis von \(V\). Dann ist auch \( (f(b_1), \dots, f(b_n)) \) eine Basis von \(V\), denn:

Aus \( \sum_{i=1}^n \lambda_i f(b_i) = 0 \) folgt für alle \(v \in V\)

\( \varphi(\sum_{i=1}^n \lambda_i b_i, v) = \sum_{i=1}^n \lambda_i \varphi(b_i,v) = \sum_{i=1}^n \lambda_i \varphi(f(b_i),f(v)) = \varphi( \sum_{i=1}^n \lambda_i f(b_i),f(v) ) = \varphi(0,f(v))=0 \)

und somit (da \( \varphi\) nicht-entartet ist) \( \sum_{i=1}^n \lambda_i b_i = 0 \), also \( \lambda_i = 0\) für alle \(i \in \{1, \dots, n\} \).

 

Nun zum Beweis der Linearität.

Seien \(x,y \in V\) und \(a \in \mathbb{R}\) und sei weiterhin \((b_1, \dots, b_n)\) eine Basis von \(V\). Dann gilt für \(i \in \{1, \dots, n\}\)

\( \varphi(f(b_i),af(x)+f(y)-f(ax+y)) \) \( = a\varphi(f(b_i),f(x))+\varphi(f(b_i),f(y))-\varphi(f(b_i),f(ax+y)) \) \( = a \varphi(b_i,x)+\varphi(b_i,y)-\varphi(b_i,ax+y) = 0 \)

Für alle \(v \in V\), \(v = \sum_{i=1}^n \lambda_i f(b_i) \), gilt also

\( \varphi(v, af(x)+f(y)-f(ax+y)) \) \(= \sum_{i=1}^n \lambda_i \varphi(f(b_i), af(x)+f(y)-f(ax+y)) = 0 \)

und somit (da \( \varphi\) nicht-entartet ist) \( af(x)+f(y)-f(ax+y)=0 \) bzw. \(f(ax+y)=af(x)+f(y) \).

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