Hallo,

eine orthogonale Zerlegung eines Vektors \( \vec{a} \) bzgl. eines Vektors \( \vec{b} \), zerlegt den Vektor \( \vec{a} \) in einen Anteil senkrecht zu \( \vec{b} \) und einen Anteil parallel zu \( \vec{b} \). 

Der Anteil der parallel zu \( \vec{b} \) verläuft, kann sofort mit \( k \cdot \vec{b} \) beschrieben werden. Ist das verständlich?

Der Anteil senkrecht zu \( \vec{b} \) bezeichnen wir mal mit \( \vec{c} \). Damit erhalten wir die Gleichung

$$  \vec{a} = k \cdot \vec{b} + \vec{c}  $$

Nun sind \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) bekannt. Außerdem wissen wir, dass \( \vec{b} \) und \( \vec{c} \) senkrecht zueinander stehen. Die zweite Information liefert uns

$$ \vec{b} \cdot \vec{c} = 0 $$

Wenn du nun die erste Gleichung nach \( \vec{c} \) umstellst, erhälst du

$$ \vec{c} = \vec{a} - k \cdot \vec{b} $$

und eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt

$$ \vec {b} \cdot ( \vec{a} - k \cdot \vec{b}) = 0  $$

Das kann man nun nach \( k \) umstellen und erhält so \( k \).

$$ k = \frac {\vec{a} \cdot \vec{b}} {\vec{b} \cdot \vec{b}}  $$

Nachdem wir nun \( k \) kennen, können wir dieses \( k \) in die erste Gleichung einsetzen und so \( \vec{c} \) berechnen.

$$ \vec{a} = \frac {\vec{a} \cdot \vec{b}} {\vec{b} \cdot \vec{b}} \cdot \vec{b} + \vec{c} \Rightarrow \vec{c} = \vec{a} -  \frac {\vec{a} \cdot \vec{b}} {\vec{b} \cdot \vec{b}} \cdot \vec{b} $$

So ergeben sich die beiden Vektoren der Lösung. Du kannst es ja mal nachrechnen für

$$ \vec{a} = \vec{n} = \frac {1} {\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} $$

und 

$$ \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$

Grüße Christian