Habe ich einen Denkfehler? Ist das überhaupt eine Dichtefunktion? Oh Mann, die ganzen Leute, die hier immer die Klammern weglassen, bringen mich noch um den Verstand. Die Neuntel sind natürlich nicht im Exponenten...

Also nochmal langsam:
Bei einer diskreten Zufallsvariablen macht man doch das hier:
$$
E(X)=\sum_{i=1}^n x_i\cdot P(x_i)
$$
Du multiplizierst jeden Wert $x_i$, den die Zufallsvariable annehmen kann mit der Wahrscheinlichkeit für diesen Wert $P(x_i)$. Dann wird aufsummiert.

Bei der stetigen Zufallsvariable steckt das gleiche Prinzip dahinter. Nur hast Du unendlich viele $i$, über die summiert werden muss.

Deswegen macht man das mit einem Integral. Die $x_i$-Werte liegen alle in Deinem Intervall ("Realisationen"), wodurch die Integralgrenzen festgelegt werden.
Die $P(x_i)$ sind hier durch die Dichtefunktion $f(x_i)$ für jedes $x_i$ festgelegt.

Also:
$$
E(X)=\int_{\text{linke Grenze}}^{\text{rechte Grenze}}x_i \cdot f(x_i)\;\text{d}x_i
$$
Die kleinen $i$ denkst Du Dir weg. Habe ich nochmal hingeschrieben, damit Du besser mit der Summe oben vergleichen kannst.

Kriegst Du das jetzt selber eingesetzt?

Gutes Gelingen!