Hallo,

ja der Start ist schon mal sehr gut. Es ist auch richtig, dass du hier ein Doppelintegral bilden musst. Du musst die Grenzen einer Variable in Abhängigkeit der anderen bilden.
Stell es dir so vor: Wenn $y=0$, dann geht $x ^3$ von $0$ bis $1$, wenn $y=0{,}5$, dann geht $x^3$ von $0{,}5 $ bis $1 $ usw. Also geht $x^3$ im allgemeinen von $y$ bis $1$. Das heißt, $x$ geht von $\sqrt[3]{y}$ bis $1$

Wir haben also 

$$ \int\limits_0^1 \int\limits_{\sqrt[3]{y}}^1 xy^3 \ \mathrm dx \mathrm dy $$

Grüße Christian