Integral, Fläche im Intervall

Aufrufe: 1036     Aktiv: 29.09.2019 um 00:38

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Habe die Funktion f(x)=3x(x-t), t>0 und soll die Fläche im Intervall [-5t,2t] berechnen.

Habe zusätzlich zu den im Intervall erwähnten Grenzen noch x=0 und x=t (weil dort die Funktion =0 wäre).

Und komme am Ende auf 13.5t³, aber bin mir absolut nicht sicher, ob das richtig ist.

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Ich denke, dass \(t>0\) ist und du dich verschrieben hast, denn sonst wäre die linke Grenze des Intervalls größer als die rechte.

Da der Graph der quadratischen Funktion \(f(x)=3x^2-3tx\) eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen \(x_1=0\) und \(x_2=t\) ist, setzt sich die gesuchte Fläche aus drei Teilen zusammen. Links von \(x_1=0\) und rechts von \(x_2=t\) befindet sich die Fläche über der x-Achse, zwischen den Nullstellen darunter. Das berücksichtigst du bei der Bildung der Integrale:

\(\int_{-5t}^{0}f-\int_{0}^{t}f+\int_{t}^{2t}f\)

Nun Stammfunktion bilden und obere und untere Grenzen laut Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung einsetzen:

\(F(0)-F(-5t)-[F(t)-F(0)]+F(2t)-F(t)\)

Ich komme als Endergebnis auf \(\frac {331} 2 t^3\).

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Okay danke. Ja, hatte mich tatsächlich hier verschrieben. Und habe es auch so gerechnet wie du.. Werde ich morgen nochmal versuchen und gucken ob ich dann auf das richtige Ergebnis komme.

Wobei ich noch eine Frage habe: Muss ich nicht alle Integrale in Betragsstrichen setzen oder zumindest alles ins Positive bringen und aufaddieren? Weil es laut deiner Formel nicht so aussieht.
  ─   anonym809ae 29.09.2019 um 00:22

Das Integral liefert ein positives Ergebnis, wenn die Fläche über der x-Achse liegt, und ein negatives, wenn sie darunter liegt. Ich habe hier ein Minus vor das zweite Integral gesetzt, um den Wert ins Positive umzukehren. Du kannst das aber natürlich auch mit Betragsstrichen anschreiben. Bei den Integralen mit positivem Ergebnis ist das aber nicht zwingend notwendig, weil es hier ja nichts gibt, was man positiv machen müsste.   ─   briskoli 29.09.2019 um 00:38

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