Das kartesische Produkt einer endlichen Anzahl von vollständigen metrischen Räumen ist wieder ein mR

Aufrufe: 328     Aktiv: 26.05.2021 um 10:04
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das kartesische Produkt einer endlichen Anzahl von vollständigen metrischen Räumen ist wieder ein methischer Raum 

Heyyy Leute Wie soll man diese Aussage beweisen?
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Student, Punkte: 97

 
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Du brauchst gar nicht, dass die Räume vollständig sind. Sind \((X_i,d_i)\) metrische Räume für \(i=1,\ldots,n\), dann definiere z.B.$$X:=X_1\times\ldots\times X_n\qquad d:X^2\to\mathbb R,\ ((x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots,y_n))\mapsto\sum_{i=1}^nd_i(x_i,y_i)$$ und rechne nach, dass \(d\) eine Metrik auf \(X\) definiert.
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