Vollständiger Induktion

Aufrufe: 998     Aktiv: 12.07.2019 um 11:40

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Hallo zusammen,

anbei eine Aufage mit Induktion und meine Überlegungen:

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass 5 hoch n + 7 für jede natürliche Zahl n größer gleich 0 stets durch 4 teilbar ist.

Induktionsanfang

Für n größer gleich 0 gilt, dass 5 hoch n + 7 durch 4 teilbar ist

Induktionshypothese 

Es gilt für n größer gleich als 0

Induktionsschritt

Wir zeigen, dass 5 hoch (n+1) + 7  durch 4 teilbar ist.

Und jetzt beginnen meine Defizite. Wie mache ich es? 

Vielen DANK für jede Hilfe!

Beste Grüße

Eva

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Student, Punkte: 50

 
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Hallo Eva,

zunächst musst Du dir klar machen, was überhaupt gefragt ist und über modulo Bescheid wissen.

Beginnen wir mit dem Induktionsanfang \(n=1:\) $$ 5^1 + 7 \mod 4 = 0 \Leftrightarrow 12 \mod 4 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0 \text{ w. A.} $$

Die Induktionsvoraussetzung (IV) ist bekannt, gehen wir zum Induktionsschritt, wobei ich Dir nur ein paar Hilfestellungen geben mag:

  • \( 5^n + 7 \mod 4 = 0 \Leftrightarrow 5^n \mod 4 = 1 \)
  • \( a \cdot b \mod 4 = (a \mod 4) \cdot (b \mod 4) \)

Versuche also \(5^{n+1}+7\) so umzuformen, dass Du die IV anwenden kannst. Hilft Dir das schon ein wenig auf die Sprünge? Zeig gern mal Deinen Fortschritt. :)

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Lehrer/Professor, Punkte: 640

 

Hallo Dreszig,

danke vielmals für deine Mühen und ausführlich Antwort.
Ich weiß zwar was Modulo ist, aber diese Umformulierurg bei IS werde ich vermutlich nie schaffen..
Beste Grüße
Eva
  ─   evatsigkana 09.07.2019 um 19:05

Hallo Eva,

ich würde es so machen: $$ \begin{align} 5^{n+1} + 7 \mod 4 = 0 &\Leftrightarrow 5^{n+1} \mod 4 = 1 \\ &\Leftrightarrow 5^n \cdot 5 \mod 4 = 1 \\ &\Leftrightarrow (5^n \mod 4) (5 \mod 4) = 1 \\ &\Leftrightarrow 5^n \mod 4 = 1 \\ & \Leftrightarrow 5^n + 7 \mod 4 = 0 \\ & \Leftrightarrow 0 = 0 \quad\square \end{align} $$
  ─   dreszig 11.07.2019 um 14:03

Herzlichen Dank, dreszig!
Ich muss es mir genau anschauen. VIELEN VIELEN DANK
Eva
  ─   evatsigkana 12.07.2019 um 11:40

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