Polynome als Vektoren. Basiswechsel mit Polynomfunktion.

Aufrufe: 1112     Aktiv: 11.11.2020 um 16:11
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Sei meine Basis B{f,g,h}

f(x)= 1+x    g(x)= 2+x²  h(x)=1-x-x²

Sei meine Funktion

v(x)=25+5x+4x² 

Wie komme ich zu v(x)zur Basis B?

Für Vektoren ist mir dies klar.

"Nur wie überführe ich die Funktionen in einen Vektor/LGS/Matrix  und dann wieder zurück?" -Salopp gefragt.

Ich find leider auch nix im Netz was mir hilft, eine Step by Step Beispielrechnung zu der Thematik würde schon helfen.

 

 

 

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Angenommen, \(v=af+bg+ch\) mit \(a,b,c\) aus dem Skalarkörper (also eine Linearkombination der drei Basispolynome). Setze die Polynome ein und mache einen Koeffizientenvergleich.

Helfe gerne anhand deiner Rechnung weiter, sollte das nicht als Hinweis reichen.

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Das v= ist mein angegebenes v(x)?

  ─   spahwnchi 11.11.2020 um 15:16
Ja, der Kürze halber habe ich das Argument \(x\) bei allen Polynomen weggelassen und diese einfach als Elemente des Vektorraums der Polynome aufgefasst. Zum Rechnen musst Du dann aber das \(x\) wieder mitschreiben.   ─   slanack 11.11.2020 um 15:21
Danke jetzt hat es klick gemacht. :)

Ich strecke stauche meine Basis bis ich auf wieder auf v lande und fertig. mAnalog zu meinen Vektoren.

wenn ich einsetze und was hin und herschreibe land ich hier:
a+2b+c+(a-c)(x)+(b-c)x²=25+5x+4x²

Dann überführe ich in Matrix

1 2 1 |25
1 0 1 |5
0 1 1 |4

Den Zirkus rumschieben (rechenfehler sind mir gerade egal )

1 0 0 |11
0 1 0 |10
0 0 1 |-6

Dann ist das mein v(x)base= 11+10x-6x²


So in etwa der Ablauf?   ─   spahwnchi 11.11.2020 um 15:34
Ja (bis auf zwei Vorzeichenfehler...). Ich habe den Wortlaut der Aufgabenstellung nicht, aber vermute, dass Du \(v\) in der Basis \(f,g,h\) ausdrücken sollst. So haben wir ja die Koeffizienten \(a,b,c\) festgelegt. In Deinem letzten Satz drückst Du aber \(v\) in der Basis \(1,x,x^2\) aus, das wäre nicht richtig. Schreibe es so hin, wie in meiner Antwort, indem Du die für \(a,b,c\) gewonnenen Zahlen einsetzt.   ─   slanack 11.11.2020 um 15:55
in der Basis f,g,h ... Basis 1,x,x2
Wichtiger Einwand.

Ja richtig vermutet so war die Aufgabe. (Im Skript nichts(!) über Polynome... löse diese Aufgabe... )
Also diese Ergebnisse
|a
|b
|c
dann da rein -> v=af+bg+ch <- und wenn ich Spaß haben will kann ich nochmal Proberechnung machen.

Damit bedanke ich mich für die Hilfestellung !

(und rechne jetzt mal mit den echten Zahlen)   ─   spahwnchi 11.11.2020 um 16:08
:)   ─   slanack 11.11.2020 um 16:11

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