Wie beweise ich das korrekt?

Aufrufe: 827     Aktiv: 27.09.2020 um 18:48

0

Hallo

Ich müsste folgende Aussage beweisen:

Sei A eine Teilmenge der rationalen Zahlen. Das Supremum von A ist gegeben durch \(s=sup(A)\).
Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen ein a  A existiert, so dass \(a>s-\frac{1}{n}\).

Ich hätte das ganze wie folgt bewiesen, jedoch bin ich bei meinem zweiten Teil unsicher, ob dies so gültig ist, wenn nein könnte mir jemand einen Tipp geben, wie es richtig geht?

 

 

Beweis:

Da a<=s-1/n gelten sollte für alle a Element aus A, würde dies bedeuten, dass es eine kleinere obere Schranke gäbe mit s'<s wobei wir s'=s-1/n definieren könnten (für alle n der Natürlichen Zahlen). Daraus folgt aber, dass a<=s' wäre, dies widerspricht jedoch der Definition des supremums (s), da dort für alle s'<s gilt, dass es ein a Element aus A gibt mit s'<a. Hier haben wir also den Widerspruch, was bedeutet, dass ein solches a existiert.

tönt das besser?

Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 1.95K

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
1

Du kannst mit dem a nicht arbeiten, da Du ja erst zeigen sollst, dass so ein a existiert. Wenn die Aussage mit "für alle n" anfängt, muss Dein Beweis mit "sei n" anfangen.

Hier bietet sich aber ein indirekter Beweis an. Wir nehmen an, die Beh. sei falsch, d.h. es gelte: Es gibt ein n so, dass für alle \(a\in A\) gilt: \(a\le s-\frac1n\).

Kommst Du damit weiter? Beachte, sup ist was anderes als obere Schranke, da gilt noch mehr.

Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 39.48K

 

mir ist klar dass das Supremum einfach die kleinste obere Schranke ist, jedoch haben wir das irgendwie nur so in Worten definiert...   ─   karate 27.09.2020 um 16:15

Es tut mir leid wenn ich so auf dem Schlauch stehe und nochmals nachfrage, ich habe es jetzt wie folgt bewiesen, bzw. versucht: (Irgendwie wird mein Kommentar nicht ganz angezeigt, weshalb ich meinen Beweis unten an die Frage angehängt habe...) Danke für dein Verständnis   ─   karate 27.09.2020 um 18:37

okei das ist komisch, bei mir zeigte es nur die Hälfte an und es war so irgendwie durchgestrichen worden...
super herzlichen Dank!!! ist wirklich toll wie man mit euch zusammenarbeiten kann!
  ─   karate 27.09.2020 um 18:46

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.