0
Aufgabenstellung: Ist das Bild einer linear unabhängigen Teilmenge stets linear unabhängig? Begründen Sie Ihre Behauptung.

Die Aufgabe ist aus meiner Klausur, leider ist die Aufgabe als falsch oder unzureichend beantwortet markiert worden.

Im Skript steht nur etwas wodurch ich leider nicht weiterkomme: Das Bild einer Abbildung f : M → N, d.h. die Menge der Bildpunkte, ist eine Teilmenge von N. Wir bezeichnen sie mit f(M). Eine Abbildung f : M → N heißt surjektiv, falls f(M) = N gilt (wenn jedes Element aus N Bildelement eines Elementes aus M ist).

Vielen Dank. Ich würde gerne für mich die Aufgaben lösen, allerdings brauche ich dafür eine Lösung um zu wissen ob ich auf dem richtigen Weg bin.
Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 10

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
1
Das stimmt nur, wenn die Abbildung bijektiv ist, im Allgemeinen natürlich nicht. Einfachstes Beispiel: $f:\mathbb R\to\mathbb R,x\mapsto 0$ ist linear, $1$ ist eine $\mathbb R$-Basis von $\mathbb R$ (also natürlich auch linear unabhängig), aber $f(1)=0$ ist nicht linear unabhängig.
Etwas besseres Beispiel: $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2,\binom xy\mapsto \binom{x+y}{0}$. Die Menge $\{\binom10,\binom01\}$ ist linear unabhängig, aber $f(\{\binom10,\binom01\})=\{f(\binom10),f(\binom01)\}=\{\binom10,\binom10\}$ ist linear abhängig.
Es sollte eigentlich offensichtlich sein, dass die Aussage falsch ist, da ohne Bedingungen an die Abbildung du alles mit den Vektoren machen kannst, also sie auch auf das gleiche Element oder auf $0$ abbilden kannst.
Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 11.1K

 

Vielen Dank, durch deine Erklärung habe sogar ich das verstanden :D
  ─   dieeinzigwahre 05.07.2021 um 15:52

Kommentar schreiben