Das stimmt nur, wenn die Abbildung bijektiv ist, im Allgemeinen natürlich nicht. Einfachstes Beispiel: $f:\mathbb R\to\mathbb R,x\mapsto 0$ ist linear, $1$ ist eine $\mathbb R$-Basis von $\mathbb R$ (also natürlich auch linear unabhängig), aber $f(1)=0$ ist nicht linear unabhängig.
Etwas besseres Beispiel: $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2,\binom xy\mapsto \binom{x+y}{0}$. Die Menge $\{\binom10,\binom01\}$ ist linear unabhängig, aber $f(\{\binom10,\binom01\})=\{f(\binom10),f(\binom01)\}=\{\binom10,\binom10\}$ ist linear abhängig.
Es sollte eigentlich offensichtlich sein, dass die Aussage falsch ist, da ohne Bedingungen an die Abbildung du alles mit den Vektoren machen kannst, also sie auch auf das gleiche Element oder auf $0$ abbilden kannst.