Eigenwerte

Aufrufe: 290     Aktiv: 24.06.2021 um 16:02

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Ich soll für die NxN Matrix mit der Vorschrift  i=j -2 ,i=j+/-1  1 , sonst 0

zu gegebenen Eigenwerten und Eigenvektoren n=1,2,...N die Eigenwertgleichung überprüfen
Ich hab zunächst ausprobiert, ob ich das ganze für Matrix*v_1=lambda_1*v_1 zeigen kann. Jedoch weiß ich einfach nicht, wie ich mit den Sinustermen umgehen soll. Gibt es da vielleicht irgendein Additionstheorem mit dem sich die ganze Sache vereinfacht?
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Du musst die Vorschrift für die Matrixelemente \(m_{ij}\) besser erklären.
\(m_{ij}=1\) für \(i=j-2\) oder \(i=j\pm 1\)??
  ─   gerdware 24.06.2021 um 10:35
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Zunächst mal ist der EW falsch geschrieben, richtig ist \(\lambda_n=-4\sin^2\frac{n\pi}{2(N+1)}\).
Mathematik heißt, die Dinge einfach machen. Wir setzen daher erstmal \(u:=\frac{n\pi}{N+1}\).
In \(A\,v_n\) lautet dann die k-te Zeile für k=2,...,N-1:
\(\sin (k-1)u -2\sin ku +\sin(k+1)u\). Verwende für den ersten und dritten Summanden die Regel \(\sin (x+y)+\sin (x-y) = 2\sin x\cos y\).
Verwende dann noch \(1-\cos x=2\sin^2\frac{x}2\).
Die erste und letzte Zeile (k=1, k=N) laufen anders, probiere diese selbst.
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