Eigenwerte

Aufrufe: 85     Aktiv: 24.06.2021 um 16:02

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Ich soll für die NxN Matrix mit der Vorschrift  i=j -2 ,i=j+/-1  1 , sonst 0

zu gegebenen Eigenwerten und Eigenvektoren n=1,2,...N die Eigenwertgleichung überprüfen
Ich hab zunächst ausprobiert, ob ich das ganze für Matrix*v_1=lambda_1*v_1 zeigen kann. Jedoch weiß ich einfach nicht, wie ich mit den Sinustermen umgehen soll. Gibt es da vielleicht irgendein Additionstheorem mit dem sich die ganze Sache vereinfacht?
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Du musst die Vorschrift für die Matrixelemente \(m_{ij}\) besser erklären.
\(m_{ij}=1\) für \(i=j-2\) oder \(i=j\pm 1\)??
  ─   gerdware 24.06.2021 um 10:35
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1 Antwort
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Zunächst mal ist der EW falsch geschrieben, richtig ist \(\lambda_n=-4\sin^2\frac{n\pi}{2(N+1)}\).
Mathematik heißt, die Dinge einfach machen. Wir setzen daher erstmal \(u:=\frac{n\pi}{N+1}\).
In \(A\,v_n\) lautet dann die k-te Zeile für k=2,...,N-1:
\(\sin (k-1)u -2\sin ku +\sin(k+1)u\). Verwende für den ersten und dritten Summanden die Regel \(\sin (x+y)+\sin (x-y) = 2\sin x\cos y\).
Verwende dann noch \(1-\cos x=2\sin^2\frac{x}2\).
Die erste und letzte Zeile (k=1, k=N) laufen anders, probiere diese selbst.
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Ja, sorry, Tippfehler. Korrigiere ich.   ─   mikn 24.06.2021 um 13:36

Sehr gut soweit! Da muss man jetzt doch die Abkürzung u mal auflösen. Es ist nämlich \(\sin(N+1)u=0\). Damit kann man entweder:
1. die letzte Zeile genauso schreiben wie die k-te nur mit k=N (ist ja nur "+0" dazu) und dann rechnen wie bei der allgemeinen k-ten Zeile (das geht auch bei der 1.ten Zeile, wenn man k=0 nimmt, denn \(\sin 0\cdot u =0\)).
oder
2. man schreibt mit Additionstheorem \(\sin(N+1)u =0\) um und kann an der Stelle, wo Du hängst, \(\cos (Nu)\sin u=-\sin (Nu)\cos u\) benutzen.
Eleganter wäre der erste Weg, weil man dann nur einen Fall behanldeln muss, den für k=0,...,N+1 mit dem Ausdruck von oben (sin...-2sin...+sin....).
  ─   mikn 24.06.2021 um 14:49

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In der Mathematik geht es um Muster, und dieser "komische Bruch" taucht ja mehrmals auf. Es wird dann übersichtlicher, wenn man den umbenennt. Und "übersichtlicher" bedeutet: Man sieht Zusammenhänge (wie wo ein Additionstheorem helfen könnte) leichter und die Gefahr sich zu verrechnen verringert sich.
  ─   mikn 24.06.2021 um 16:02

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