Ich soll diese Aufgabe hier bearbeitem:
Sei \( V=C([0,1]) \) der Vektorraum aller stetigen Funktionen \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) versehen mit der Supremumsnorm
\(\|f\|:=\sup _{x \in[0,1]}|f(x)|\)
Zeigen Sie, dass die Abbildung
\( \Phi: V \rightarrow V, \quad(\Phi f)(x)=1+\int \limits_{0}^{x} t^{2} f(t) \mathrm{d} t\)
genau einen Fixpunkt in \( V \) hat.
Sie dürfen ohne Beweis annehmen, dass es sich bei \( V \) um einen Banachraum handelt

Die Definition des Fixpunktes aus unserer VL lautet wie folgt:
Die Abbildung $\Phi: A \rightarrow A$ ist eine Kontraktion, d.h. $\exists q \in ]0,1[\forall f,g \in A: ||\Phi(f)-\Phi(g)|| \leq q||f-g||$

Ich habe dazu folgenden Ansatz:
$(\Phi f)(x)=1+\int \limits_{0}^{x} t^{2} f(t) \mathrm{d} t$, ich definiere $g(x):=f(y)$ für ein beliebiges $y \in [0,1]$, also:
$(\Phi g)(x)=(\Phi f)(y)=1+\int \limits_{0}^{y} t^{2} f(t) \mathrm{d} t$

$$||\Phi(f)-\Phi(g)||=\big|\big|1+\int \limits_{0}^{x}t^2f(t)dt-(1+\int \limits_{0}^{y}t^2f(t)dt)\big|\big|=\big|\big| \int \limits_{0}^{x}t^2f(t)dt+(-\int \limits_{0}^{y}t^2f(t)dt) \big|\big| $$
$$\leq \big|\big|\int \limits_{0}^{x}t^2f(t)dt  \big|\big|+\big|\big|-\int \limits_{0}^{y}t^2f(t)dt  \big|\big| \leq \int \limits_{0}^{x}||t^2f(t)||dt-\int \limits_{0}^{y}||t^2f(t)||dt $$
$$ \substack{?\\=} \int \limits_{0}^{x}t^2||f(t)||dt-\int \limits_{0}^{y}t^2||f(t)||dt\substack{?\\=}\sup _{x \in[0,1]}|f(x)| \cdot \int \limits_{0}^{x}t^2dt-\sup _{y \in[0,1]}|f(y)| \cdot \int \limits_{0}^{y}t^2dt $$
$$= \sup _{x \in[0,1]}|f(x)| \cdot \frac{1}{3}x^3-\sup _{y \in[0,1]}|f(y)| \cdot \frac{1}{3}y^3
\leq \frac{1}{3}(\sup _{x \in[0,1]}|f(x)| - \sup _{y \in[0,1]}|f(y)|)$$
$$\geq \frac{1}{3}||f(x)-f(y)|| =\frac{1}{3}||f-g|| \quad \text{Das größer-Zeichen vermasselt mir hier leider den Beweis}$$

Hier meine Problemstellen:
(Erstes $\substack{?\\=}$): Ich nutze hier die Eigenschaft einer Norm, dass $||\lambda x|| = |\lambda|\cdot ||x||$ ist, die Frage ist, darf ich das hier überhaupt? Ich sehe in $t^2$ halt einen reelwertigen Vorfaktor, den ich da rausziehen möchte. Macht es hier Probleme, dass $t$ eine Variable ist?

(Zweites $\substack{?\\=}$): $\int \limits_{0}^{x}t^2||f(t)||dt-\int \limits_{0}^{y}t^2||f(t)||dt\substack{?\\=}\sup _{x \in[0,1]}|f(x)| \cdot \int \limits_{0}^{x}t^2dt-\sup _{y \in[0,1]}|f(y)| \cdot \int \limits_{0}^{y}t^2dt$
Ich schreibe hier zwei verschiedene Suprema für mehr oder weniger den selben Ausdruck. Ich habe oben $g$ als $g:=f(y)$ definiert, eigentlich ist deren Supremum ja gleich, weil ich nur die Variable verändere. Wenn ich hier jeweils das gleiche Supremum nehme, als schreibe: $\sup _{x \in[0,1]}|f(x)|  = \sup _{y \in[0,1]}|f(y)| $ entferne ich mich leider noch weiter von der Lösung, wo ich eigentlich hinmöchte.

Last but not least, die letze Zeile: $\sup _{x \in[0,1]}|f(x)| +(-\sup _{x \in[0,1]}|f(x)|)  \geq \sup _{x,y \in[0,1]}|f(x)-g(x)| $ Was den ganzen Beweis eigentlich in die Tonne haut.

Das war jetzt ziemlich viel geschrieben, ich hoffe jemand kann mir bei meinen Problemstellen weiterhelfen, bzw. mir zeigen, wo ich mal falsch abgebogen bin.
Ich bedanke mich für jede Form der Hilfe.