Fixpunkt im Banachraum

Erste Frage Aufrufe: 221     Aktiv: 25.05.2022 um 17:55

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Ich soll diese Aufgabe hier bearbeitem:
Sei \( V=C([0,1]) \) der Vektorraum aller stetigen Funktionen \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) versehen mit der Supremumsnorm
\(\|f\|:=\sup _{x \in[0,1]}|f(x)|\)
Zeigen Sie, dass die Abbildung
\( \Phi: V \rightarrow V, \quad(\Phi f)(x)=1+\int \limits_{0}^{x} t^{2} f(t) \mathrm{d} t\)
genau einen Fixpunkt in \( V \) hat.
Sie dürfen ohne Beweis annehmen, dass es sich bei \( V \) um einen Banachraum handelt

Die Definition des Fixpunktes aus unserer VL lautet wie folgt:
Die Abbildung $\Phi: A \rightarrow A$ ist eine Kontraktion, d.h. $\exists q \in ]0,1[\forall f,g \in A: ||\Phi(f)-\Phi(g)|| \leq q||f-g||$

Ich habe dazu folgenden Ansatz:
$(\Phi f)(x)=1+\int \limits_{0}^{x} t^{2} f(t) \mathrm{d} t$, ich definiere $g(x):=f(y)$ für ein beliebiges $y \in [0,1]$, also:
$(\Phi g)(x)=(\Phi f)(y)=1+\int \limits_{0}^{y} t^{2} f(t) \mathrm{d} t$

$$||\Phi(f)-\Phi(g)||=\big|\big|1+\int \limits_{0}^{x}t^2f(t)dt-(1+\int \limits_{0}^{y}t^2f(t)dt)\big|\big|=\big|\big| \int \limits_{0}^{x}t^2f(t)dt+(-\int \limits_{0}^{y}t^2f(t)dt) \big|\big| $$
$$\leq \big|\big|\int \limits_{0}^{x}t^2f(t)dt  \big|\big|+\big|\big|-\int \limits_{0}^{y}t^2f(t)dt  \big|\big| \leq \int \limits_{0}^{x}||t^2f(t)||dt-\int \limits_{0}^{y}||t^2f(t)||dt $$
$$ \substack{?\\=} \int \limits_{0}^{x}t^2||f(t)||dt-\int \limits_{0}^{y}t^2||f(t)||dt\substack{?\\=}\sup _{x \in[0,1]}|f(x)| \cdot \int \limits_{0}^{x}t^2dt-\sup _{y \in[0,1]}|f(y)| \cdot \int \limits_{0}^{y}t^2dt $$
$$= \sup _{x \in[0,1]}|f(x)| \cdot \frac{1}{3}x^3-\sup _{y \in[0,1]}|f(y)| \cdot \frac{1}{3}y^3
\leq \frac{1}{3}(\sup _{x \in[0,1]}|f(x)| - \sup _{y \in[0,1]}|f(y)|)$$
$$\geq \frac{1}{3}||f(x)-f(y)|| =\frac{1}{3}||f-g|| \quad \text{Das größer-Zeichen vermasselt mir hier leider den Beweis}$$

Hier meine Problemstellen:
(Erstes $\substack{?\\=}$): Ich nutze hier die Eigenschaft einer Norm, dass $||\lambda x|| = |\lambda|\cdot ||x||$ ist, die Frage ist, darf ich das hier überhaupt? Ich sehe in $t^2$ halt einen reelwertigen Vorfaktor, den ich da rausziehen möchte. Macht es hier Probleme, dass $t$ eine Variable ist?

(Zweites $\substack{?\\=}$): $\int \limits_{0}^{x}t^2||f(t)||dt-\int \limits_{0}^{y}t^2||f(t)||dt\substack{?\\=}\sup _{x \in[0,1]}|f(x)| \cdot \int \limits_{0}^{x}t^2dt-\sup _{y \in[0,1]}|f(y)| \cdot \int \limits_{0}^{y}t^2dt$
Ich schreibe hier zwei verschiedene Suprema für mehr oder weniger den selben Ausdruck. Ich habe oben $g$ als $g:=f(y)$ definiert, eigentlich ist deren Supremum ja gleich, weil ich nur die Variable verändere. Wenn ich hier jeweils das gleiche Supremum nehme, als schreibe: $\sup _{x \in[0,1]}|f(x)|  = \sup _{y \in[0,1]}|f(y)| $ entferne ich mich leider noch weiter von der Lösung, wo ich eigentlich hinmöchte.

Last but not least, die letze Zeile: $\sup _{x \in[0,1]}|f(x)| +(-\sup _{x \in[0,1]}|f(x)|)  \geq \sup _{x,y \in[0,1]}|f(x)-g(x)| $ Was den ganzen Beweis eigentlich in die Tonne haut.

Das war jetzt ziemlich viel geschrieben, ich hoffe jemand kann mir bei meinen Problemstellen weiterhelfen, bzw. mir zeigen, wo ich mal falsch abgebogen bin.
Ich bedanke mich für jede Form der Hilfe.
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Hier geht aufgrund von Ungenauigkeiten einiges durcheinander.
Das, was Du als Def. von Fixpunkt genannt hast, ist gar keine Def., sondern eine Möglichkeit die Existenz eines Fixpunkts nachzuweisen (über den Banachschen Fixpunktsatz).
Die Def. lautet hier: $f$ ist Fixpunkt von $\Phi$, wenn $\Phi(f)=f$, d.h. $\Phi(f)(x)=f(x)$ für alle $x$.
Um Kontraktion nachzuweisen musst Du $\|\Phi(f)-\Phi(g)\|$ abschätzen, das geht über $|\Phi(f)(x)-\Phi(g)(x)|\le ...$.
Deine Def. mit x und y geht so nicht, da völlig unklar ist, was x und y sein soll.
Also, fang die Abschätzung mal richtig an und schau wie weit Du kommst. Falls Du stecken bleibst, poste Deinen geänderten Rechenweg.
Der richtige Weg ist auch kürzer und einfacher als Dein bisheriger.
Einzelne Elemente Deiner Abschätzung sind durchaus ok, nicht aber das mit x und y. Es  kommt in der Abschätzung nur das $x\in [0,1]$ vor, kein anderer Wert aus diesem Intervall.
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Vielen Dank für deine Antwort,
Ich weiß nicht, ob ich das hier schon wieder zu kompliziert denke, aber so komme ich tatsächlich auch dahin wo ich hin möchte.

Sei $q:=\frac{1}{3}$, dann gilt:
$$ \|\Phi(f)-\Phi(g)\|=\left\|1+\int \limits_{0}^{x} t^{2} f(t) d t-1-\int \limits_{0}^{x} t^{2} g(t) d t\right\| \leq\left\|\int \limits_{0}^{x} t^{2} f(t) d t\right\|+\left\|\int \limits_{0}^{x} t^{2} g(t) d t\right\| $$
$$ \leq \int \limits_{0}^{x}\left\|t^{2} f(t) d t\right\|+\int \limits_{0}^{x}\left\|t^{2} g(t) d t\right\|\substack{?\\=}\int \limits_{0}^{x} t^{2}\|f(t) d t\|+\int \limits_{0}^{x} t^{2}\|g(t) d t\|=\frac{1}{3} x^{3} \cdot (\sup _{x \in[0,1]}|f(x)|+\sup _{x \in[0,1]}|g(x)|)$$$$ \leq \frac{1}{3}(\sup _{x \in[0,1]}|f(x)|+\sup _{x \in[0,1]}|g(x)|) = \frac{1}{3}(||f||+||g||) = q(||f||+||g||)$$
Es gilt: $\|\Phi(f)-\Phi(g)\| \leq q(||f||+||g||)$
Da: $q||f-g|| \leq q(||f||+||-g||)=q(||f||+||g||)$, ist insbesondere auch $\|\Phi(f)-\Phi(g)\| \leq q||f-g||$ q.e.d

Ich habe beim (?) die selbe Stelle wie oben markiert. Ich weiß nicht, ob ich hier das $t^2$ aus der Norm herausziehen darf.
  ─   ella. 25.05.2022 um 14:22

Ja, das ist weiter kompliziert und am Ende ("Da q...") auch schlicht falsch. Ich hatte Dir den Anfang vorgegeben als: $|\Phi(f)(x)-\Phi(g)(x)|\le ...$, der muss zwingend so sein. Und dann lass die Finger von der Dreiecksungleichung (auch bei allen ähnlichen Beweisen), damit kommst Du nie mehr zurück nach $\|f-g\|$ (nur mit falschen Argumenten, s.o.).



  ─   mikn 25.05.2022 um 14:38

hmm ok, wie kann ich denn eine Norm kleiner machen, ohne die Dreiecksungleichung zu verwenden? Da bleibt ja höchsten noch die Möglichkeit, dass ich den Ausdruck durch zusätzliche Elemente vergrößere. Die Idee ist mir noch gekommen:
$$ \|\Phi(f)-\Phi(g)\|=\left\|1+\int \limits_{0}^{x} t^{2} f(t) d t-1-\int \limits_{0}^{x} t^{2} g(t) d t\right\|=\left\|\int \limits_{0}^{x} t^{2} f(t) d t-\int \limits_{0}^{x} t^{2} g(t) d t\right\|
\leqslant\left\|\int \limits_{0}^{1} t^{2} f(t) d t-\int \limits_{0}^{1} t^{2} g(t) d t\right\|=\left\|\int \limits_{0}^{1} t^{2}(f(t)-g(t)) d t\right\| $$
Aber von hier an komme ich auch nicht wirklich weiter... :/
  ─   ella. 25.05.2022 um 15:44

Du hast wieder nicht den richtigen Anfang gewählt. Dann hast Du Normen, wo Beträge hingehören (Folge des falschen Anfangs). Außerdem ersetzt Du auf einmal x durch 1 (es ist nicht klar, dass es dann größer wird). Das sind schonmal drei Fehler.
Bei den Normen hab ich auch nicht aufgepasst, sorry: Der richtige Anfang ist $|\Phi(f)(x)-\Phi(g)(x)|\le ...$. Hab es auch oben korrigiert.
Man muss immer darauf achten $f-g$ zusammenzuhalten. Jetzt (nachdem Du die obigen drei Fehler korrigiert hast) geht es weiter mit der Ungleichung (ja, ist auch eine Art Dreiecksungleichung) $|\int h(x)\, dx|\le \int |h(x)|\, dx$.
  ─   mikn 25.05.2022 um 15:53

Ich verstehe nicht wirklich, was du mit einem "richtigen Anfang" meinst. Du sagst ja, dass es eine Abschätzung $|\Phi(f)(x)-\Phi(g)(x)| \leq....$ gibt, die anscheinend ohne das Zusammenfassen des Ausdrucks und ohne Dreiecksungleichung auskommt. Diese Abschätzung scheint mir nicht so offentsichtlich wie dir, sonst hätte ich sie ja direkt in meiner letzen Antwort verwendet.

Warum genau ersetzt du die Norm durch einen Betrag? Die Definition zur Existenz eines Fixpunktes arbeitet doch auch mit der Norm?

x durch 1 zu ersetzen erzeugt zwar die größte Schranke, ob der Ausdruck da wirklich größer wird, kann ich gar nicht wissen, da haste natürlich vollkommen recht, das war unsinnig.
  ─   ella. 25.05.2022 um 17:11

Du fängst an mit $\|\Phi(f)-\Phi(g)\|$ (in diesem Ausdruck kommt kein $x$ vor, das ist eine Zahl), schreibst aber im nächsten Schritt $\|\Phi(f)(x)-\Phi(g)(x)\|$ hin, das ist was anderes (das erstere ist das sup über alle $x$ des zweiten).
Fang also richtig an (und erstmal mit =, $\le$ kommt später), danach stimmt Deine Rechnung ja (bis auf die Normen). Wie es dann weitergeht, hab ich gerade ja gesagt.
"x durch 1 zu ersetzen erzeugt zwar die größte Schranke, ob der Ausdruck da wirklich größer wird, kann ich gar nicht wissen," der Satz ist doch ein Widerspruch in sich.
Wenn man über einen positiven Ausdruck von 0 bis x integriert, wird das Integral durchaus größer beim Ersetzen von x durch 1 (Achtung: Ich sage das aus gutem Grund), aber nicht bei einer unbekannten Funktion und schon gar nicht innerhalb von Betragsstrichen.
Betrag - Norm: Die Norm bezieht sich auf Funktionen, der Betrag auf Zahlen.
Mach Dir in jedem Schritt klar, über welche Art von Objekt Du redest (Funktion oder Funktionswert).
  ─   mikn 25.05.2022 um 17:37

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