Das, was Du als Def. von Fixpunkt genannt hast, ist gar keine Def., sondern eine Möglichkeit die Existenz eines Fixpunkts nachzuweisen (über den Banachschen Fixpunktsatz).
Die Def. lautet hier: $f$ ist Fixpunkt von $\Phi$, wenn $\Phi(f)=f$, d.h. $\Phi(f)(x)=f(x)$ für alle $x$.
Um Kontraktion nachzuweisen musst Du $\|\Phi(f)-\Phi(g)\|$ abschätzen, das geht über $|\Phi(f)(x)-\Phi(g)(x)|\le ...$.
Deine Def. mit x und y geht so nicht, da völlig unklar ist, was x und y sein soll.
Also, fang die Abschätzung mal richtig an und schau wie weit Du kommst. Falls Du stecken bleibst, poste Deinen geänderten Rechenweg.
Der richtige Weg ist auch kürzer und einfacher als Dein bisheriger.
Einzelne Elemente Deiner Abschätzung sind durchaus ok, nicht aber das mit x und y. Es kommt in der Abschätzung nur das $x\in [0,1]$ vor, kein anderer Wert aus diesem Intervall.
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$$ \|\Phi(f)-\Phi(g)\|=\left\|1+\int \limits_{0}^{x} t^{2} f(t) d t-1-\int \limits_{0}^{x} t^{2} g(t) d t\right\|=\left\|\int \limits_{0}^{x} t^{2} f(t) d t-\int \limits_{0}^{x} t^{2} g(t) d t\right\|
\leqslant\left\|\int \limits_{0}^{1} t^{2} f(t) d t-\int \limits_{0}^{1} t^{2} g(t) d t\right\|=\left\|\int \limits_{0}^{1} t^{2}(f(t)-g(t)) d t\right\| $$
Aber von hier an komme ich auch nicht wirklich weiter... :/ ─ ella. 25.05.2022 um 15:44
Warum genau ersetzt du die Norm durch einen Betrag? Die Definition zur Existenz eines Fixpunktes arbeitet doch auch mit der Norm?
x durch 1 zu ersetzen erzeugt zwar die größte Schranke, ob der Ausdruck da wirklich größer wird, kann ich gar nicht wissen, da haste natürlich vollkommen recht, das war unsinnig. ─ ella. 25.05.2022 um 17:11
Ich weiß nicht, ob ich das hier schon wieder zu kompliziert denke, aber so komme ich tatsächlich auch dahin wo ich hin möchte.
Sei $q:=\frac{1}{3}$, dann gilt:
$$ \|\Phi(f)-\Phi(g)\|=\left\|1+\int \limits_{0}^{x} t^{2} f(t) d t-1-\int \limits_{0}^{x} t^{2} g(t) d t\right\| \leq\left\|\int \limits_{0}^{x} t^{2} f(t) d t\right\|+\left\|\int \limits_{0}^{x} t^{2} g(t) d t\right\| $$
$$ \leq \int \limits_{0}^{x}\left\|t^{2} f(t) d t\right\|+\int \limits_{0}^{x}\left\|t^{2} g(t) d t\right\|\substack{?\\=}\int \limits_{0}^{x} t^{2}\|f(t) d t\|+\int \limits_{0}^{x} t^{2}\|g(t) d t\|=\frac{1}{3} x^{3} \cdot (\sup _{x \in[0,1]}|f(x)|+\sup _{x \in[0,1]}|g(x)|)$$$$ \leq \frac{1}{3}(\sup _{x \in[0,1]}|f(x)|+\sup _{x \in[0,1]}|g(x)|) = \frac{1}{3}(||f||+||g||) = q(||f||+||g||)$$
Es gilt: $\|\Phi(f)-\Phi(g)\| \leq q(||f||+||g||)$
Da: $q||f-g|| \leq q(||f||+||-g||)=q(||f||+||g||)$, ist insbesondere auch $\|\Phi(f)-\Phi(g)\| \leq q||f-g||$ q.e.d
Ich habe beim (?) die selbe Stelle wie oben markiert. Ich weiß nicht, ob ich hier das $t^2$ aus der Norm herausziehen darf. ─ ella. 25.05.2022 um 14:22