Angewandte Integralrechnung

Aufrufe: 211     Aktiv: 18.07.2022 um 11:20

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Die Funktion mit der Funktionsgleichung v(t) = 1/2t^3 - 1/2t beschreibt näherungsweise die Zuflussgeschwindigkeit in einen Tank (in m^3/h) in Abhängigkeit der Zeit t (in Stunden). Zu Beginn befinden sich 0,5 m^3 Wasser in dem Tank.

Wie lange dauert es, bis sich 3,5m^3 Wasser im Tank befinden?

Da in meiner Klausur (Ingenieursmathematik) definitiv eine ähnliche Aufgabe drankommen wird, würde ich ebenfalls gerne wissen, wie eine solche Aufgabe noch gestellt werden könnte.

Vielen lieben Dank im Voraus!

Freundliche Grüße
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Wenn Du den Zusammenhang zwischen Grundwert, Zuwachs und Beschleunigung (also Zuwachs vom Zuwachs) und zwischen f. f'. und f'' verstanden hast, auch was das für die physikalischen Einheiten bedeutet,  und ableiten und integrieren kannst, kannst Du doch dieser Klausuraufgabe entspannt entgegen sehen.
Wenn Du aber solche Aufgaben nur rechnen kannst, wenn es um m^3/h geht und Volumen geht, dann hast Du das Prinzip noch nicht verstanden. Dann steht Dir noch Arbeit bevor.
Wenn Du daran noch was tun willst:

Denk Du Dir eine Aufgabe z.B. zum Thema Zufluss/Tank aus, in der nicht das Integral, sondern die Ableitung gefragt ist. Formuliere eine entsprechende Textaufgabe und poste sie hier. Wir schauen uns das gerne an.

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Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Wie würden in diesem Fall die Rechnung aussehen?

Wie lange dauert es, bis sich 3,5m^3 Wasser im Tank befinden?
  ─   userd884c4 15.07.2022 um 23:23

Ok, ich dachte Du kannst die Aufgabe lösen. Schreib die Angaben aus der Aufgabe auf. Schreib auf, was ist gegeben, was ist gesucht (generell gutes Vorgehen) Drücke alle Angaben mit den Bezeichnungen v und t aus. Dann löse.
Wie weit kommst Du dann?
  ─   mikn 15.07.2022 um 23:32

Ich habe das Integral gebildet. Ist nach der oberen Grenze gesucht?

Integral: 1/8t^4 - 1/4t^3 + c
  ─   userd884c4 15.07.2022 um 23:51

Ich hatte Dir, insb. aufgrund Deiner Frage zu ähnlichen Aufgaben, ein ganz konkretes Vorgehen nahegelegt. Oder möchtest Du, entgegen Deiner obigen Frage, doch NUR diese Aufgabe IRGENDWIE lösen? Halte ich im Hinblick auf die Klausur für riskant.   ─   mikn 16.07.2022 um 00:06

Ich würde gerne wissen wie diese Aufgabe gelöst wird, aber trotzdem verstehen, wie man ähnliche Aufgaben löst, wenn nach anderen Parametern gefragt ist.

Ich weiß nicht wie, was ich mache nachdem ich die Stammfunktion gebildet habe.
  ─   userd884c4 16.07.2022 um 00:18

Dann empfehle ich Dir nochmal das obige Vorgehen von Anfang an, auch wenn es ungewohnt sein mag. Das klärt alle Fragen dazu.
  ─   mikn 16.07.2022 um 00:24

Ich komme wirklich nicht weiter. Haben Sie mir einen Tipp? Ich weiß leider nicht wo ich anfangen soll.   ─   userd884c4 16.07.2022 um 00:26

Ich hab Dir gesagt wie Du anfangen solltest.("Schreib die...."). Da gibt es auch gar nichts zu rechnen (erstmal). Also fang an.   ─   mikn 16.07.2022 um 00:29

v(t) = 1/2t^3 - 1/2t
V(t) = 1/8t^4 - 1/4t^3 + c

t(0) = 0,5
t(x) = 3,5

Also suche ich nach der unbekannten oberen Grenze des Integrals?
  ─   userd884c4 16.07.2022 um 00:34

V(t) steht nicht in der Aufgabe. t(x), t(0) gibt es nicht.
Der Anfang beim Vorgehen ist nur Lesen und Schreiben.
Muster:
Gegeben: ...
Gesucht: ...
Alles auf die beiden Punkte verteilen, dabei abschreiben, nichts rechnen, nichts hinzufügen, nichts weglassen. Begriffe übernehmen.
Wenn das geklärt ist, geht es weiter. Erst dann wird was gerechnet.
  ─   mikn 16.07.2022 um 00:46

Gegeben sind:

v(t) = 1/2t^3 - 1/2t

0,5m^3 zu Beginn (deswegen dachte ich t(0), da zu Beginn)

3,5m^3 am Ende (deswegen dachte ich t(x), da die Dauer/ Endzeitpunkt nicht bekannt)

Gesucht ist t, wenn 3,5m^3

Ist das richtig?

  ─   userd884c4 16.07.2022 um 00:51

nicht t(0) sondern t=0. Für t=0 ist das Volumen \(0,5 m^3\)
Für welches t ist das Volumen = \(3,5 m^3\) ?
Du musst also aus der Zuflussgeschwindigkeit (abhängig von t) die Zuflussmenge (abhängig von t) berechnen. (d.h Integrieren)
  ─   scotchwhisky 16.07.2022 um 13:09

Schonmal ein großer Schritt voran. Die vollständige erste Zeile ist:
v(t) = 1/2t^3 - 1/2t mit: v Zuflussgeschwindigkeit in m^3/h, t Zeit
Mit Wasserstand W zur Zeit t gilt: ...
Die 3.5m^3 gehören nur in "gesucht".
Mach Dir dieses Vorgehen genau klar, weil Du es bei ähnlichen Aufgaben eben genauso brauchst.

  ─   mikn 16.07.2022 um 13:09

Das heißt ich integriere zunächst v(t) = 1/2t^3 - 1/2t
Dann setze ich für v(t) 0,5m^3 ein mit t=0?
  ─   userd884c4 16.07.2022 um 13:54

Wir sind noch nicht bei der Lösung und nicht beim Integrieren. Wenn die Aufgabenstellung sauber aufgeschlüsselt ist, geht's los. Überarbeite erstmal entsprechend meinen Hinweisen.   ─   mikn 16.07.2022 um 13:56

Gegeben ist die Wachstumsgeschwindigkeit (Zuflussgeschwindigkeit) durch v(t) = 1/2t^3 - 1/2t
Um die Tankhöhe zu bestimmen muss ich integrieren. Hier muss ich also t=0 einsetzen um die Zuflussmenge zum Startzeitpunkt t=0 zu bestimmen

Aber es ist ja nach der Dauer gefragt. Dh. es wird t gesucht?

Ich verstehe, dass integriert werden muss. Ich verstehe aber nicht, was ich mit den 0,5m^3 zu Beginn und was ich mit den 3,5m^3 mache..

Ich komme leider nicht weiter...
  ─   userd884c4 16.07.2022 um 14:24

Ich hab Dir gestern schon mehrmals und heute auch schon mehrmals ein Vorgehen empfohlen.   ─   mikn 16.07.2022 um 14:32

Könnten Sie mir das Vorgehen erklären. Ich weiß nicht was ich machen muss.   ─   userd884c4 16.07.2022 um 14:35

S.o. "Schonmal ein großer Schritt..." Mein darauf folgender Kommentar: "Überarbeite...."
  ─   mikn 16.07.2022 um 14:43

Ich bin vollkommen planlos, was der nächste Schritt ist. Es tut mir Leid.   ─   userd884c4 16.07.2022 um 15:48

Geh zu Deinem Beitrag mit "Gegeben sind:" und meinem Kommentar dazu. Ich hab Dir die nächste Zeile korrigiert hingeschrieben. Warum Du nicht Deinen Anfang (s.o. "gegeben sind..:") nochmal überarbeitet hinschreiben kannst, wo Du ja am Anfang meine Korrektur nur abschreiben musst, verstehe ich nicht. Du fragst, was der nächste Schritt ist, ich sag "überarbeite..." Du sagst, keinen Plan?
Dieser Dialog hier wird ellenlang, wenn ich alles 5mal sage. Und dann verlierst Du erst recht den Überblick. Ich hoffe Du liest das hier am PC und nicht auf dem Smartphone...
  ─   mikn 16.07.2022 um 16:14

Gegeben ist:

Zuflussgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit: v(t) = 1/2t^3 - 1/2t
Wasserstand W zur Zeit t Ende: W(t)=3,5m^3
Wasser stand W zur Zeit t Beginn: W(t)=0,5m^3

Gesucht: t=?
Bzw. W(t)=0,5^m3, hierbei ist t gesucht

Stimmt das soweit?
  ─   userd884c4 16.07.2022 um 16:30

Besser, aber noch nicht fertig. Wo ist das Problem, wenn ich Dir eine Zeile hinschreibe, die einfach abzuschreiben? Du kannst es gerne selbst umformulieren, wenn Dir meine Formulierung nicht passt, aber es müssen alle Infos drin sein.
Zum soundsovielten Mal: Lies meinen Kommentar mit "Schonmal ein...".
  ─   mikn 16.07.2022 um 16:36

Gegeben:

v(t) = 1/2t^3 - 1/2t mit: v Zuflussgeschwindigkeit in m^3/h, t Zeit
Mit Wasserstand zu Beginn: W=0,5m^3

Gesucht: Wann Wasserstand bei W(t)=3,5m^3

Jetzt sollte es passen. Wie ich weitermache weiß ich jedoch immer noch nicht.

PS: Sollte man auf der RWTH eig. wissen, aber Mathe ist bei mir schon eine Weile zurück. Dennoch vielen Dank für Ihre Geduld.
  ─   userd884c4 16.07.2022 um 17:01

Fast perfekt. In der Zeile "Mit Wasserstand..:" ist noch ein kleiner Fehler. t kommt in dieser Angabe gar nicht vor (siehe Aufgabenstellung). Bitte korrigieren (mit cut-and-paste nochmal neu hier reinposten). Gleich geht's weiter.   ─   mikn 16.07.2022 um 17:07

Ist korrigiert.   ─   userd884c4 16.07.2022 um 17:46

Gegeben:

v(t) = 1/2t^3 - 1/2t mit: v Zuflussgeschwindigkeit in m^3/h, t Zeit
Mit Wasserstand zu Beginn: W=0,5m^3

Gesucht: Wann Wasserstand bei W(t)=3,5m^3
  ─   userd884c4 16.07.2022 um 17:47

Na, ok, kann man so akzeptieren. Das "zu Beginn" sollte noch math. ausgedrückt werden. Und das gesuchte auch - wir suchen ja keine Uhrzeit ("wann?"), sondern eine Größe, die auch schon eine Bezeichnung hat.
Zur Lösung: Muster (abschreiben!) "Lösung: Es gilt nach Aufgabenstellung [Zusammenhang zwischen W und v formulieren], also $W(t)=...$. Damit ist $W(t)=3.5 \iff ... =3.5$, also [Endergebnis (vgl. korrigiertes "gesucht") formulieren. Fertig."
  ─   mikn 16.07.2022 um 18:03

Das heißt ich bilde das Integral und setze es mit 3,5 gleich?

Also: Integral von 1/2t^3 - 1/2t = 3,5?
  ─   userd884c4 16.07.2022 um 18:25

\(W(t)=W(0)+Zufluss \).
Der Zufluss wird über das Integral berechnet.
Dann suchst du das t, für das gilt W(t)=3,5
  ─   scotchwhisky 16.07.2022 um 19:37

Bleib im Muster, dann klärt es sich.   ─   mikn 16.07.2022 um 19:41

W(t) = W(0) + Zufluss

bedeutet(?):

3,5 = 0,5 + 1/8t^4 - 1/4 t^2?
  ─   userd884c4 17.07.2022 um 13:07

Ich hab Dir ne Lösung zum Abschreiben vorgegeben, wo Du nur ergänzen musst. Warum nutzt Du die nicht? Verstehe ich nicht.   ─   mikn 17.07.2022 um 13:47

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Ich verstehe Ihre Lösung: "Lösung: Es gilt nach Aufgabenstellung [Zusammenhang zwischen W und v formulieren], also..." leider nicht.
  ─   userd884c4 17.07.2022 um 14:09

Passt Jetzt t berechnen
  ─   scotchwhisky 17.07.2022 um 14:15

Wenn Du meine Hinweise nicht verstehst, (was nicht schlimm ist), dann frag halt. Aber verfolg nicht stur Deinen eigenen Weg weiter. Dann kann ich mir die Zeit sparen.
Was ist der Zusammenhang zwischen W und v? Wir kommen da langsam zum Kern Deiner Frage ganz oben.
  ─   mikn 17.07.2022 um 14:26

W ist der Wasserstand
v ist die (Zufluss-) Geschwindigkeit

um von v zu W zu kommen muss integriert werden.

Ich hatte mir hierzu gemerkt:

f = Höhe
1. Ableitung = Wachstumsgeschwindigkeit
2. Ableitung = Beschleunigung

  ─   userd884c4 17.07.2022 um 16:30

Der Zusammenhang zwischen W und v ist, dass W eine Stammfunktion zu v ist. Es geht (erstmal) nicht darum, was zu tun ist. Man erarbeitet sich die Lösung schrittweise.
Schreib also bitte die Lösung soweit Du kommst NACH OBIGER VORGABE und dem jetzigen Tipp hin. ABSCHREIBEN!
  ─   mikn 17.07.2022 um 16:33

Wenn W eine Stammfunktion zu v ist dann:

v(t) = 1/2t^3 - 1/2t
V(t) = W = 1/8t^4 - 1/4 t^2

Mit W = 3,5:

3,5 = 1/8t^4 - 1/4 t^2

Hier hätte ich nun mit der pq-Formel nach t aufgelöst.






  ─   userd884c4 17.07.2022 um 16:56

Und wieder folgst Du meiner Vorgabe ohne Erklärung nicht. Ich geb auf. Und auch rechnerisch ist das nicht richtig.
Wenn Du's Dir anders überlegst und doch noch offen für Hilfe dafür bist, solche Aufgaben zu verstehen (was ich dachte, dass es Dein Anliegen ist, im Gegensatz zu DIESE Aufgabe hier nur zu rechnen), melde Dich.
Bis dahin viel Erfolg.
  ─   mikn 17.07.2022 um 17:11

Evtl. habe ich dann nicht verstanden, was Sie mit obiger Vorgabe meinen. Welche Vorgabe genau?
Lieben Dank im Voraus
  ─   userd884c4 17.07.2022 um 17:22

"Lösung: ...."   ─   mikn 17.07.2022 um 19:01

Nochmal von vorne:

v(t) = 1/2t^3-1/2t in m^3/h
W(0) = 3,5 in m^3
W(t) = 0,5 in m^3

Von der Wachstumsgeschwindigkeit (hier Zuflussgeschwindigkeit v(t) in m^3/h) komme ich durch integrieren auf die Gesamtmenge. Die Gesamtmenge ist hier jedoch nicht gesucht, sondern die Dauer, bis der Tank 3,5 m^3 fasst.

W(t) = W(0) + Zufluss (auf den Zufluss soll ich hierbei durch integrieren kommen, aber warum ist das so?) Durch eine Stammfunktion der Zuflussgeschwindigkeit (v(t)) berechne ich doch die Gesamtmenge?

Meine Stammfunktion wäre V(t) = 1/8t^4 - 1/4 t^2 + c (c hierbei steht dann für die Wassermenge zu Beginn, also W(0) = 3,5)

Wo genau ist mein Denkfehler? Ich bin leider ziemlich überfordert mit der Aufgabe, wie Sie sehen.
Besten Dank dennoch für die Geduld!
  ─   userd884c4 17.07.2022 um 22:18

Ich unterstütze Dich gerne auf dem von mir gezeigten Weg, damit Du mit solchen Aufgaben souverän umzugehen lernst.   ─   mikn 17.07.2022 um 22:29

Was ist denn an meinem Weg falsch?   ─   userd884c4 17.07.2022 um 23:19

Könnten Sie mir nochmal die Herangehensweise erkläre. Ich dachte nämlich, dass ich in meinem Kommentar Ihren Weg beschrieben habe.   ─   userd884c4 18.07.2022 um 11:07

Es steht alles oben, mehrfach. Lies es von Anfang an nochmal in Ruhe.   ─   mikn 18.07.2022 um 11:20

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