Es wird die 1.Ableitung =0 gesetzt, mit ihr berechnest du die Steigung der Tangente. Dort, wo diese Steigung Null ist, kann (sie muss nicht! das muss man untersuchen) sie vorher und nachher unterschiedlich sein, damit hättest du die Stellen gefunden, an denen die Kurve von steigend in fallend bzw. umgekehrt übergeht.

Du möchtest ja die einzelnen Intervalle bestimmen, wo der Graph der Funktion steigt oder fällt. Ein Wechsel des Monotonieverhaltens ist aber nur möglich, wenn die Ableitung 0 wird. Diese Punkte stellen also die Grenzen für die verschiedenen Intervalle da. Zeichne dir mal einen Graphen und bestimme die Monotonieintervalle graphisch. Wo findet jeweils ein Monotoniewechsel statt? Und welche Rolle spielen eigentlich Sattelpunkte?