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Dein Gedanke mit Primzahlen ist schonmal korrekt. Sicherlich weißt du, dass der Ring \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}=:\mathbb{F}_p\) für eine Primzahl \(p\) ein Körper ist. Es gibt jedoch noch weitere endliche Körper. Sei dazu nun \(F\) ein endlicher Körper, dann betrachte den Homorphismus \(\pi: \mathbb{Z}\to F, a\mapsto a \cdot 1\). Es ist dann \(\ker(\pi)=p\mathbb{Z}\), wobei \(p\) eine Primzahl ist. Hieraus folgt dann aber \(\mathrm{im}(\pi)\simeq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}=\mathbb{F_p}\). Es ist also insbesondere \(F/\mathbb{F_p}\) endlich, was folgt dann daraus?
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mathejean
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Ich will daraufhinaus, dass \([F:\mathbb{F}_p]:=\dim_{\mathbb{F}_p}( F)=n \in \mathbb{N} \).
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mathejean
07.02.2022 um 22:03
Ok danke! :)
─ userf7cd87 07.02.2022 um 22:09
─ userf7cd87 07.02.2022 um 22:09
Vielleicht noch deutlicher und elementarer (habe erst gerade gesehen das du lineare Algebra machst, sry): jeder endliche Körper ist ein endlich erzeugter \(\mathbb{F}_p\) Vektorraum, man kann sich leicht überlegen, dass \(\mathbb{F}_p^n\) genau \(p^n\) Elemente hat.
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mathejean
08.02.2022 um 10:07
Bin mit den Schreibweisen nicht ganz vertraut. Willst du darauf hinaus, dass es auch endliche Körper gibt, deren Anzahl an Elementen keine Primzahl ist? ─ userf7cd87 07.02.2022 um 21:38