Hallo,

also bei dieser Funktion kriegst Du leider ein bisschen Schwierigkeiten; aber lass es uns von vorne angehen.

Normalerweise (also im Rahmen des Schulunterichts) muss man bei Polynomen dritten Grades (auch ganzrationale Funktion dritten Grades genannt, um so etwas handelt es sich bei dieser Funktion) die erste Nullstelle erst einmal "geschickt" raten. Mit ein bisschen kopfrechen sehe ich bei Deiner Funktion, dass eine Nullstelle \(x=-3\) ist. (Nachprüfen: \(2\cdot (-3)^3+4\cdot (-3)^2-5\cdot (-3)+3=-54+36+15+3=0\), passt also). Wenn Du die erste Nullstelle gefunden hast, dann kannst Du mit Polynomdivision weiter machen (ich kann das hier nicht so schön formattieren, daher müsstest Dus selber nachrechnen) - wir teilen die Funktion also durch den Term \((x-\text{Nullstelle})=\left(x-(-3)\right)=(x+3)\):

 \(2x^3+4x^2-5x+3):(x+3)=2x^2 -2x+1\)

Jetzt musst Du den verbleibenden Funktionsterm \(2x^2 -2x+1\) noch nach Nullstellen untersuchen. Dafür gibts dann die Mitternachtsformel: \(x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{4-8}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{-4}}{4}\). Aber halt! Hier kommt meine Frage an Dich: habt ihr in der Schule "komplexe Zahlen" gelernt? Falls ja, dann weißt Du was hier zu tun ist und Du findest zwei weitere Nullstellen zusätzlich zu \(x=-3\). Falls nein, dann bist Du hier fertig, denn die Wurzel einer negativen Zahl ist nicht definiert, d.h. sie existiert damit nicht und dadurch auch keine weiteren Nullstellen.

Hoffe das hilft,

Viele Grüße,

MoNil

Hallo,

noch ein Tipp für das raten von Nullstellen:

Wenn du ein Polynom hast

$$ p(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 $$

und für alle Koeffizienten gilt \( a_k \in \mathbb{Z} \). Alle Koeffizienten sind also ganze Zahlen, dann gilt:

Wenn \( p(x) \) eine rationale Nullstelle hat, dann hat sie die Gestalt \( \frac a b \), mit \( a,b \in \mathbb{Z} \) und \( \mathrm{ggt}(a,b) = 1 \). Dabei ist \( |a| \) ein Teiler von \( | a_0 | \) und \( | b | \) ein Teiler von \( |a_n | \).

Was bedeutet das jetzt? Wir haben bei deinem Polynom \( a_n = 2 \) und \( a_0 = 3 \). Damit kommen als Zähler Teiler von \( 3 \) in Frage und als Nenner Teiler von \( 2 \). Und Zähler und Nenner müssen zudem Teilerfremd sein.

Das bedeutet die einzigen überhaupt möglichen rationalen Nullstellen sind

$$ \begin{array}{cc} &  \pm \frac 1 1 , \pm \frac 1 2 , \pm \frac 3 1 , \pm \frac 3 2 \\ \Rightarrow & \pm 1, \pm \frac 1 2  \pm 3 , \pm \frac 3 2  \end{array}$$

Es wären also 8 Zahlen die als rationale Zahlen in Frage kommen.

Anmerkung: Ein Polynom kann auch irrationale oder komplexe Zahlen als Nullstellen haben, da hilft uns dieser Tipp leider nicht weiter Aber da ihr komplexe Zahlen vermutlich noch nicht hattet und sich irrationale Zahlen nicht wirklich erraten lassen, kann das doch sehr hilfreich sein.
Zudem sind es meistens leichte Zahlen die erraten werden können. Deshalb würde ich von den Kandidaten immer erst die ganzen Zahlen ausprobieren, also

$$ \pm 1 , \pm 3 $$

Das sind nur noch 4 Kandidaten. 

Vorallem wenn dein Polynom normiert ist, sind deine Kandidaten auch nur ganze Zahlen, und zwar sind diese Kandidaten Teiler von \( | a_0 | \).

Ich hoffe der Tipp hilft dir weiter. Wenn du diesen etwas üben willst, kannst du gerne mal bei ein paar Polynomen die Kandidaten bestimmen. Ich gucke gerne drüber.

Grüße Christian