Die farbigen Würfel und deren Kombinationen

Aufrufe: 103     Aktiv: 08.04.2024 um 12:50

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Moin, 
bräuchte für folgende Aufgabe eiure Hilfe:

Es gibt neun Würfel, drei mit der Farbe Orange, drei mit der Farbe Blau und drei mit der Farbe Grün. 

Diese werden aufeinander zu einem Turm gestarpelt.

Folgende Aufgaben dazu:

Wie viele Möglichkeiten gibt es die würfel zu starpeln, wenn alle neun Würfel benutzt werden sollen.
Was ist, wenn nur 8 der neun würfel benutzt werden dürfen ?

 Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass genau der Grüne Würfel in der mitte vom starpel ist, bedeutet , vier überhlab und vier unterhalb vom Würfel. 

Besonders zu der zweiten Aufgabe, würde ich mich über eine Ausführlciher Antwort freuen. 

Liebe Grüße 

Thilo
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Die zweite Aufgabe geht so:
Zuerst muss man sich die Möglichkeiten überlegen, aus den 9 Würfeln 8 Würfel auszuwählen. Da gibt es 3 Möglichkeiten:
1. Farbkombination: 2 Grüne, 3 Orange, 3 Blaue
2. Farbkombination: 3 Grüne, 2 Orange, 3 Blaue
3. Farbkombination: 3 Grüne, 3 Orange, 2 Blaue

Dann überlegt man sich, wieviele verschiedene Türme man mit der 1. Farbkombinationbilden kann:
Ein Würfel kann im Turm acht mögliche Position haben:
1. Der unterste
2. Der zweitunterste
...
3 Der acht-unterste, also der oberste
Man verteilt die 2 grünen Würfel auf die 8 Positionen. Hier gibt es \(\displaystyle\binom{8}{2}\) Möglichkeiten.
Dann verteilt man die 3 orangen Würfel auf die verbleibenden 6 Positionen. Hier gibt es \(\displaystyle\binom{6}{3}\) Möglichkeiten.
Dann verteilt man die 3 blauen  Würfel auf die verbleibenden 3 Positionen. Hier gibt es \(\displaystyle\binom{3}{3}\) Möglichkeiten.
Macht zusammen \(\displaystyle \binom{8}{2} \binom{6}{3} \binom{3}{3} = \frac{8!}{2! \,3! \,3! } \) Möglichkeiten.

Analog zeigt man, dass es für die 2. und 3. Farbkombination ebenfalls jeweils \(\displaystyle \frac{8!}{2! \,3!\, 3! } \) Möglichkeiten gibt.

Macht zusammen \(\displaystyle  3\cdot\frac{8!}{2!\,3!\, 3! } \)
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