Extremwertaufgabe

Aufrufe: 1208     Aktiv: 07.01.2020 um 22:23
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Wie lang müssen die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn die Hypothenuse möglichst klein ist?

Ich habe zunächst die Gleichung \(c = \sqrt{a^2+b^2}\) aufgestellt. Um eine Variable zu eliminieren, stelle ich \(s=a+b\) auf und stelle um nach \(a=s-b\). 

Erste Frage an dieser Stelle: Habe ich nicht dadurch eine zweite Variable \(s\) mit eingebracht?

Ich finde nicht die korrekte Funktion, die ich dann entsprechend ableiten und gleich 0 setzen kann, um den Extremwert zu bestimmen.

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Student, Punkte: 25

 
"Wie lang müssen die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn die Hypothenuse möglichst klein ist?"
?

Was ist gegeben? Ansonsten wähle für die Katheten die Länge 0.   ─   maccheroni_konstante 06.01.2020 um 17:13
Gute Idee :) Das ist eine alte Klausuraufgabe und es ist rein gar nichts gegeben.

Wortlaut: "Wie lang sind die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks, dessen Kathetenlängen die Summe S haben und dessen Hypothenuse möglichst klein sein soll?"

Ich nehme an, dass "möglichst klein" eine nicht vorhandene Hypotenuse = 0 ausschließt.   ─   helpmath 06.01.2020 um 17:42
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1 Antwort
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"dessen Kathetenlängen die Summe S haben"
Na jetzt sieht die Welt doch schon ganz anders aus.

\(c=: f(a,b) = \sqrt{a^2+b^2}\) mit \(a,b,c\in \mathbb{R}^+\).

Unter der Nebenbedingung (geg. Summe) \(s= a+b \Leftrightarrow a = s-b\) lässt sich \(f\) auch schreiben als

\(f(b) = \sqrt{(s-b)^2+b^2}\)

Hiervon kannst du nun mit den dir bekannten Methoden das Minimum berechnen.

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Okay, das passt! Komme auf dieselbe Funktion. Nur sieht die Ableitung echt mühselig aus...   ─   helpmath 06.01.2020 um 18:30
Habe mich nochmal der Aufgabe gewidmet. Die Ableitung der Funktion ist eine gebrochen rationale Funktion, die ich gleich 0 setzen muss, um das Minimum zu berechnen, soweit korrekt? Da es eine gebrochene Funktion ist, setze ich nur den Zähler = 0 an, stelle nach X um und komme auf x = 1/2s. Habe ich die Aufgabe hiermit beendet, weil ich sagen kann, dass x (Seite einer Kathete) die Hälfte der Summe beider Katheten ist (Katheten also beide gleich groß)?
   ─   helpmath 06.01.2020 um 20:15
Korrekt, das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck hat unter den rechtwinkligen Dreiecken bei geg. Kathetensumme die geringste Hypotenusenlänge.
Diese beträgt \(c=\dfrac{s}{\sqrt{2}}\).   ─   maccheroni_konstante 07.01.2020 um 22:22

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