Als erstes (VOR Substitution) klammert man alles aus, was geht, das ist hier x^3.

Und dann, wie kommst Du auf diese Zerlegung? Du hast doch das quadratische z-Polynom zerlegt (hoffe ich), als (z+1)(z-5). Wenn Du das einsetzt, bekommst Du als Zerlegung:

\(3x^3(x^2+1)(x-\sqrt5)(x+\sqrt5)\).

Klammere gleich zu Beginn ein \(x^3\) aus. Dann bleibt \(3x^4-12x^2-15\) übrig. Dann kannst du \(z\) substituieren und deine \(p\)-\(q\)-Formel anwenden.

Hoffe das hilft weiter.

Die Nullstellen hast du richtig bestimmt. Bei der Linearfaktorzerlegung musst du ein bisschen aufpassen:

Den Vorfaktor, nachdem du gefragt hast, liest du einfach aus der urspünglichen Funktion ab, in diesem Fall ist das \(3\). Du hattest aber auch eine Lösung \(z=-1\), für die du keine reellen Lösungen für \(x\) finden kannst. Trotzdem muss in der Faktorisierung von \(f\) der Faktor \((z+1)=(x^2+1)\) auftauchen. (Es ist dann streng genommen keine Linearfaktorzerlegung mehr, weil das gar nicht geht.) Die vollständige Faktorisierung wäre also $$f(x)=3x^3(x^2+1)(x-\sqrt 5)(x+\sqrt5).$$