Eigenvektoren - Vielfachheit

Aufrufe: 268     Aktiv: 18.05.2023 um 12:14

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Hallo,

wenn es darum geht, die algebraische und geometrische Vielfachheit von Eigenwerten zu untersuchen, bin ich auf eine Matrix gestoßen, für die es zu einem Eigenwert viele verschiedene Eigenvektoren gibt. Die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes liegt bei 2 somit darf die geometrische Vielfachheit auch maximal 2 betragen. Nun Stelle Ich mir die Frage, ob ich von den vielen verschiedenen Eigenvektoren einfach 2 zufällige, von mir ausgewählte, als Lösung aufschreiben soll oder wie funktioniert das bei diesem Fall?
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Es gibt immer unendlich viele Eigenvektoren zu einem Eigenwert, weil diese Vektoren aus dem sogenannten Eigenraum kommen. Die geometrische Vielfachheit ist nun die Dimension des Eigenraums. Du musst also schauen, ob du zwei linear unabhängige Vektoren unter deinen Vektoren hast oder nicht. Denn in diesem Fall hätte der Eigenraum die Dimension 2, sonst nicht.
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Als Lösung bekomme ich die Vektoren (1,-1,0) ; (0,1,-1) und (-1,0,1) raus. Die sind alle linear unabhängig. Welche 2 von den 3 soll man nun als Lösung hinschreiben?   ─   user4ebf72 17.05.2023 um 21:57

Die sind nicht alle drei linear unabhängig, sonst hätte der Eigenraum die Dimension 3, was aber nicht sein kann, wenn die algebraische Vielfachheit nur 2 ist. Aus den ersten beiden Vektoren lässt sich der dritte Vektor bilden. In der Regel gibt man immer den Eigenraum an, also die lineare Hülle der unabhängigen Vektoren.   ─   cauchy 17.05.2023 um 22:09

Wenn der Körper endlich ist, es gibt z.B. nicht unendlich viele Eigenvektoren   ─   mathejean 18.05.2023 um 12:14

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