Die Schreibweise \(1 \le j < k \le n\) bedeutet einfach nur, dass die Summe alle Paare \((j,k) \in \mathbb{N}^2\) durchläuft, für die diese Ungleichung gilt. Beispielsweise würde eine Summe über \(1 \le j < k \le 4\) die Paare \( (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)\) durchlaufen.

Nun zur Begründung der Gleichheit:

Nach dem ersten Gleichheitszeichen kommt der Fall \(j=k\) im Laufindex hinzu. Das darf man machen, weil in diesem Fall der Summand Null wird. (Das sieht man, wenn man einfach mal \(j=k\) einsetzt).

Das zweite Gleichheitszeichen ist etwas umständlich, also prüfen wir hier lieber die Gleichheit der dritten Summe über \( 1 \le j,k \le n\) mit der ersten Summe über \(1 \le j < k \le n\) nach. Die Idee ist, die Summe über \( 1 \le j,k \le n\) geschickt aufzuteilen in den Teil \(1 \le j < k \le n\), den Teil \(1 \le k < j \le n\) und den Teil \(1 \le j = k \le n\). Nun kann man beobachten, dass die Summen über die ersten beiden Teile gleich sind und die Summe über den letzten Teil Null wird. Wir haben also \(2\) mal die Summe über \(1 \le j < k \le n\). Oder anders gesagt: Die Summe über \(1 \le j < k \le n\) ist gleich \(\frac{1}{2}\) mal die Summe über \(1 \le j,k \le n\).