Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Aufrufe: 1359     Aktiv: 29.01.2021 um 17:02
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Die Aufgabenstellung ist:

Beweise mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung, dass fuer alle  x =/= 0 gilt:

|arctan(x)| < |x| .

Und ich weiss nur jetzt nicht mal, wie ich da uberhaupt ansetzen soll, der satz stellt ja ( f(b)-f(a) )/(a-b)=f'(ξ), nur wo kann ich hier schaetzungen zu Allgemeinem x machen und wo kommen die betraege her? (arctanx)'=1/(x²+1) musste ich vorher beweisen, muss ich das irgendwie benutzen?

Waere dankbar fuer jegliche Hilfe.

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Zu deiner Frage ob du die Ableitung des arctan benutzen musst, ja. Es gibt mindestens ein \(\xi\in (0,x)\), so dass gilt:

\(\dfrac{|\arctan(x)|}{|x|}=(\arctan(\xi))'=\dfrac{1}{\xi^2+1}<1\) für alle \(0<\xi<x\).

 

Hoffe das hilft weiter.

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Lehrer/Professor, Punkte: 9.03K

 
Danke fuer die antwort, so in etwa bin ich auch rangegangen dann und hier gelandet: https://i.imgur.com/nccInsV.png
aber wie du schon schriebst, gilt das ja fuer alle xi ueber null. Mit Aufgabenstellung fuer alle x=/=0, brauche ich das ganze nochmal fuer Intervall (0,x) machen? Zu viel schreiben will ich auch nicht, bin mir hier aber nicher ob der Beweis schon komplett ist.   ─   matmatek 29.01.2021 um 16:45

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Du hast den Satz falsch zitiert. Es müsste natürlich heißen

\( \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f^\prime(\xi) \)

für ein \( \xi \) zwischen \( a \) und \( b \).

Jetzt nehmen wir mal den Betrag davon. Dann haben wir

\( \frac{\vert f(b)-f(a) \vert}{\vert b-a \vert} = \vert f^\prime(\xi) \vert \)

für ein \( \xi \) zwischen \( a \) und \( b \).

Jetzt wähle mal \( f = \arctan \), \( a=0 \) und \( b=x \). Was kommt dann raus?

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Student, Punkte: 7.13K

 
Danke sehr, das war auf jeden fall schon mal zielfuehrend, bin da jetzt so angekommen: https://i.imgur.com/nccInsV.png
bin ja dabei aber immer auf Intervall (0,x), muss ich das ganze nochmal mit (x,0) machen damit die Aussage fuer alle x=/=0 gilt? die Abschaetzung am Ende gilt ja nur weil xi>0   ─   matmatek 29.01.2021 um 01:41
Ich habe extra "\( \xi \) zwischen \( a \) und \( b \)" geschrieben und nicht "\( \xi \in (a,b) \)", denn dann kann auch \( a > b \) sein. Die einzige Bedingung ist \( a \neq b \).
D.h. wenn du "für ein \( \xi \) zwischen \( 0 \) und \( x \)" schreibst, dann kann \( x \) auch negativ sein.   ─   42 29.01.2021 um 16:54
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Ich würde auch noch mal an deiner Beweisführung arbeiten. Man kann die Abschätzung elegant in einer Zeile hinschreiben:
Für \( x \neq 0 \) gibt es nach dem Mittelwertsatz ein \( \xi \) zwischen \( 0 \) und \( x \), sodass gilt
\( \frac{\vert \arctan(x) \vert }{\vert x \vert } \) \( = \frac{\vert \arctan(x) - \arctan(0) \vert }{\vert x - 0 \vert } \) \( = \vert \arctan^\prime(\xi) \vert \) \( = \frac{1}{\xi^2+1} < 1 \)
Es gilt also \( \vert \arctan(x) \vert < \vert x \vert \) für alle \( x \neq 0 \).   ─   42 29.01.2021 um 17:02

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