Moin Stephan!

Ich zeige dir einmal, wie man die Stammfunktion mit partieller Integration löst.

\(\displaystyle\int e^{2x}\cdot \sin(3x)\ dx=e^{2x}\cdot \left( -\dfrac{1}{3}\cos(3x)\right)-\displaystyle\int2\cdot e^{2x}\cdot \left( -\dfrac{1}{3}\cos(3x)\right)\ dx=-\dfrac{1}{3}e^{2x}\cos(3x)+\dfrac{2}{3}\displaystyle \int e^{2x}\cdot \cos(3x)\ dx\)

Jetzt wenden wir erneut partielle Integration auf den rechten Teil an:

\(\displaystyle\int e^{2x}\cdot \sin(3x)\ dx=-\dfrac{1}{3}e^{2x}\cos(3x)+\dfrac{2}{3} \left[ e^{2x}\cdot \dfrac{1}{3} \sin(3x)-\displaystyle \int 2e^{2x}\cdot \dfrac{1}{3} \sin(3x)\right]\)

Jetzt fassen wir ersteinmal zusammen und lösen die Klammer auf:

\(\displaystyle\int e^{2x}\cdot \sin(3x)\ dx=-\dfrac{1}{3}e^{2x}\cos(3x)+\dfrac{2}{9}e^{2x}\sin(3x)-\dfrac{4}{9}\displaystyle\int e^{2x}\sin(3x)\ dx \)

Und jetzt siehst du: während unserer Rechnung tritt das Integral, welches wir urpsrunglich lösen wollten, wieder auf. Wenn wir jetzt also weiter versuchen, den rechten Teil auszurechnen, können wir das beliebig so weiter machen, da nach zweimaliger partieller Integration, das gesuchte Integral wieder auftreten würde. Den "Trick" den man jetzt anwendet ist, durch Äuivalenzumformung, das gesuchte Integral zusammen zu fassen. Also:

\(\displaystyle\int e^{2x}\cdot \sin(3x)\ dx+\dfrac{4}{9}\displaystyle\int e^{2x}\sin(3x)\ dx=-\dfrac{1}{3}e^{2x}\cos(3x)+\dfrac{2}{9}e^{2x}\sin(3x) \)

\(\dfrac{13}{9}\displaystyle\int e^{2x}\sin(3x)\ dx=-\dfrac{1}{3}e^{2x}\cos(3x)+\dfrac{2}{9}e^{2x}\sin(3x) \)

Nun fassen den rechten Teil noch ein wenig zusammen und Klammern ein wenig aus, damit das Ergebnis am Ende etwas schöner wird:

\(\dfrac{13}{9}\displaystyle\int e^{2x}\sin(3x)\ dx=\dfrac{1}{9}e^{2x}\cdot \left ( 2\sin(3x)-3\cos(3x)\right ) \)

Und nun müssen wir nur noch durch \(\dfrac{13}{9}\) teilen:

\(\displaystyle\int e^{2x}\sin(3x)\ dx=\dfrac{1}{9}e^{2x}\cdot \left ( 2\sin(3x)-3\cos(3x)\right )\cdot \dfrac{9}{13} \)

\(\displaystyle\int e^{2x}\sin(3x)\ dx=\dfrac{e^{2x}\cdot (2\sin(3x)-3\cos(3x))}{13}\)

Und zu Bonusfrage: Ich verstehe nicht ganz, was du damit meinst. Am Besten formulierst du die nochmal etwas anders.

Grüße

Der Trick ist, dass man zweimal partiell integriert. Dadurch erhält man eine Gleichung der Form \( \int \exp(2x) \sin(3x) = f(x) + c \cdot \int \exp(2x) \sin(3x) \). Und das kann man dann nach \( \int \exp(2x) \sin(3x) \) umstellen.

Du benötigst für die Rechnung eigentlich nur diese Dinge: Eine Stammfunktion von \( \exp(2x) \) ist \(\frac{1}{2} \exp(2x) \), die Ableitung von \( \sin(3x) \) ist \( 3 \cos(3x) \) und die Ableitung von \( \cos(3x) \) ist \( -3 \sin(3x) \).

Ich hoffe, das bringt dich auf den richtigen Weg.