Jeder vollständige Verband ist endlich.

Aufrufe: 235     Aktiv: 30.12.2021 um 15:38

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Ich soll die Aussage "Jeder vollständige Verband ist endlich." beweisen oder widerlegen.
Mein Ansatz ist, dass ein Verband vollständig ist, wenn jede Teilmenge ein Supremum und ein Infimum besitzt.
Ein Verband heißt endlich, wenn die Menge endlich ist. 

Sei M={2,4,6,8} ein vollständiger Verband mit Infimum 2 und Supremum 8. Dann ist ja die Menge endlich und somit auch der Verband. Bedeutet, der vollständige Verband ist endlich.

Wie kann ich den Beweis nun verallgemeinern?

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Hallo leoniem,

ihr wisst ja sicherlich, dass alle nichtleeren endlichen Verbände vollständig sind.

Die Frage ist ja, ob auch unendliche Verbände vollständig sein können. Was fallen dir für unendliche Verbände ein? Kannst du einen unendlichen Verband finden, der vollständig ist?
  • Wenn nein: Woran scheitert es? Lässt sich dieses "Scheitern" auf alle unendlichen Verbände verallgemeinern?
  • Wenn ja: Dann hast du ein Gegenbeispiel zur Aussage "Jeder vollständige Verband ist endlich." gefunden und damit diese Aussage widerlegt.
Viele Grüße
Tobias

P.S.: Ein Hinweis am Rande: Wenn $M=\{2,4,6,8\}$ einen Verband bilden soll, solltest du die "Verbands-Struktur" angeben, also je nach bei euch gewählter Definition angeben, wie $\vee$ und $\wedge$ oder aber wie $\le$ auf $M$ definiert sein sollen.
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Unendliche Verbände sind ja die Menge der natürlichen Zahlen oder die Menge der reellen Zahlen.
Bedeutet, diese sind nicht vollständig, da die Menge der natürlichen Zahlen kein Supremum besitzt und die Menge der reellen Zahlen weder ein Infimum noch ein Supremum besitzt.
  ─   leoniem 30.12.2021 um 08:34

Genau, diese beiden Verbände (jeweils gegeben durch die "gewöhnliche" Ordnung $\le$) sind nicht vollständig. Vielleicht können wir durch Variationen einen vollständigen Verband erhalten? Du hast korrekt festgestellt, dass die ganze Menge der natürlichen Zahlen kein Supremum in den natürlichen Zahlen besitzt. Können wir der Menge ein passendes Supremum "hinzufügen"? Wie wäre es, wenn wir ein neues Element (nennen wir es z.B. $\infty$) zur Menge der natürlichen Zahlen hinzufügen, das größer als alle natürlichen Zahlen sei? Können wir so eine Totalordnung auf $\mathbb{N}\cup\{\infty\}$ erhalten? Ist der Verband vollständig?
(Falls dir diese Beispiel nicht zusagen sollte, könntest du auch das Intervall $[0,1]$ reeller Zahlen betrachten.)
  ─   tobit 30.12.2021 um 12:05

Ja, dann wäre ja 1 das Infimum der natürlichen Zahlen und somit ∞ das Supremum? Somit wäre ja der Verband vollständig. Somit ist es ein Widerspruch zu der Aussage, dass alle vollständigen Verbände endlich sind.
  ─   leoniem 30.12.2021 um 14:01

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Ja, $\mathbb{N}\cup \{\infty\}$ bildet mit geeignet definierter Totalordnung $\le$ einen vollständigen Verband, womit wir dann einen Widerspruch zur Aussage, alle vollständigen Verbände seien endlich, haben.

Deine Begründung für die Vollständigkeit des Verbandes $\mathbb{N}\cup\{\infty\}$ passt aber noch nicht. Du musst für JEDE Teilmenge $A\subseteq\mathbb{N}\cup\{\infty\}$ zeigen, dass sie ein Supremum bezüglich der vorher definierten Totalordnung besitzt, nicht nur für $A=\mathbb{N}$.

Nach Definition der Vollständigkeit müsstest du dann das gleiche noch mit Infimum statt Supremum nachweisen. Aber vielleicht wisst ihr schon, dass die Existenz von $\sup A$ für jede Teilmenge $A$ eines Verbandes bereits hinreichend für die Vollständigkeit ist?
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Sorry, dies sollte eigentlich ein Kommentar zu leoniems Kommentar sein und keine neue Antwort. Da habe ich das Forum irrtümlich falsch bedient.   ─   tobit 30.12.2021 um 15:38

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