Matrix 4x4 diagonalisierbarkeit eigenvektor

Aufrufe: 84     Aktiv: 19.07.2022 um 20:33

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Die 4x4 Matrix :(2,0,1,2)^t, (0,2,-2,-4)^t, (0,0,0,1)^t ,(0,0,-1,0)^t)

Kann man die Diagonalisieren?

ich hab erst die eigenwerte berechnet und einer war zb 2. 2 hat auch die algebraische vielfachheit 2. Als nächstes müsste man die werte jeweils von der Hauptdiagonalen abziehen und das Gleichungssystem Ax=0 lösen. Jetzt komm ich aber nicht weiter:
Nach dem einsetzen hab ich zwei Nullzeilen, also auch zwei nicht Nullzeichen. Diese habe ich nach zwei Variablen umgeformt. Meine Lösungsmenge war dann L={(2*x2+2*x3+x4, a, 0, b)} mit a,b aus IR ohne 0. Ist dies richtig? Wie ziehe ich die notwendige Aussage für die Diagonalisierbarkeit aus diesen Vektoren? Muss man dafür eine Basis für den Eigenraum bilden?
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Die Lösungsmenge stimmt so nicht. Wenn Du die sauber aufschreibst, merkst Du das auch. Deine Schreibweise geht nicht (ein Vektor in einer Menge, und einige der Variablen (nicht alle!) im Text erklärt).
Korrekt ist die Form $L=\{ \text{<NUR von $a$ und $b$ abhängiger Vektor>} | a,b\in R\}$. Damit kommst Du auch weiter.
Also, löse das Eigenraumproblem für den EW 2 formal richtig. Es müssen alle Koordinaten durch die beiden gewählten Parameter ausgedrückt werden.
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Ist es: {(2a+b, a, 0, b), a, b aus R}?   ─   nutzer123 19.07.2022 um 18:55

Müsste stimmen.   ─   mikn 19.07.2022 um 19:00

Ok, wenn man jetzt ein konkretes a und b nimmt, hat man dann einen Vektor, der die Basis des Eigenraums bildet? Oder sind es zwei? Und wenn ich das jetzt für alle Eigenwerte berechne, wie kann ich dann eine Aussage bezüglich der Diagonalisierbarkeit treffen?   ─   nutzer123 19.07.2022 um 19:16

Jedes Paar $(a,b)$ liefert einen EV. Wenn Du $L$ in der Form $L=\{a\cdot \text{Vektor1} + b\cdot \text{Vektor2} | a,b\in R\}$ schreiben würdest, könntest Du direkt eine Basis des ER ablesen. Das sollte aber aus dem Thema LGS bekannt sein (das man durchdrungen haben sollte, bevor man zu EWen, EVen und all' dem voranschreitet).
Für "diagonalisierbar" gibt es ein Kriterium über algebraische und geometrische Vielfachheiten. Damit kann man dann Richtung diagonalisierbar gehen (aber es fehlen ja auch noch zwei EWe).
  ─   mikn 19.07.2022 um 19:23

Ich verstehe nicht ganz, wie faktorisiert man a und b heraus, so, dass es zwei Vektoren werden? Bzw. woher weiß man, dass es zwei oder mehr Vektoren sind und nicht nur einer?   ─   nutzer123 19.07.2022 um 19:30

Wie gesagt, es wäre gut die entsprechenden Kapitel der Lin.Alg., speziell Lösung unterbestimmter LGS zu wiederholen. Aber auch ohne das findest Du das gewünschte durch Probieren leicht selbst raus. Vorübung: wie kann man (1+2,3+3,0,7) als Summe zweier Vektoren schreiben?   ─   mikn 19.07.2022 um 19:35

(1,3,07) + (2,3,0,0)?   ─   nutzer123 19.07.2022 um 19:40

Ja, aber das sollte nur ein Anstoß sein, jetzt denk von da ab mal selbst weiter.   ─   mikn 19.07.2022 um 20:22

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