Integralrechnung Partielle Integration

Aufrufe: 97     Aktiv: 11.09.2023 um 13:22

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Hallo,

habe diese Aufgabe:


soweit ich kann gerechnet. Leider weiß ich nicht weiter, also wie fasse ich das zusammen und wie berechne ich das.

Wäre für jede Hilfe dankbar.
VG
Sonja
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1 Antwort
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Das, was in Deiner der ersten eckigen Klammer steht, ist falsch. Du hast das \(\frac{1}{t^2}\) differenziert, Du must es aber integrieren.
Das Gleiche gilt für das letzte Integral in Deiner 2. Zeile.

Hier die allgemeine Regel: \( \int u v'  \;= uv - \int u' v \)

Setzt man \(v'=\frac{1}{t^2}\), und \(u=\ln(t)\), dann ist \(v=\int \frac{1}{t^2} dt = -\frac{1}{t}\), und  \(u'=\frac{1}{t} \).

Die allgemeine Formel ergibt dann mit diesen u,u', v, v' und den Grenzen 1 und x:
\( \int_1^x \ln(t) \frac{1}{t^2} dt \;=\; \left[\ln(t) \cdot \left(-\frac{1}{t}\right)\right]_1^x - \int_1^x \frac{1}{t} \cdot \left(-\frac{1}{t}\right) dt
\;=\; \left[\ln(x) \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) - \ln(1) \cdot \left(-\frac{1}{1}\right)\right] + \int_1^x \frac{1}{t^2} dt
\)

Das kannst Du vereinfachen. Dabei hilft die folgende Formel:  \(\ln(1)=0\)

Dann musst Du noch das letzte Integral ausrechnen und "die Brocken einsammeln".
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Wenn man schon LaTeX nutzt, bitte bei negativen Faktoren Klammern setzen.   ─   cauchy 10.09.2023 um 13:33

Ok, und das letzte Integral mit 1/t^2 stammt aus 1/t * 1/t und das Integriert ist dann wieder -1/t, und das ist dann 1/x & 1/1 also 1 richtig?   ─   sonja003 11.09.2023 um 09:03

Ja, das letzte Integral ist \( -\frac{1}{x} \) .
Aber das Gesamt-Ergebnis lautet nicht 1.
Wenn \( \ln(1)=0 \) ist, dann wird aus meiner letzten eckigen Klammer: \( \ln(x) \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) \;=\; - \frac{\ln(x)}{x}\) .
  ─   m.simon.539 11.09.2023 um 13:14

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