Das, was in Deiner der ersten eckigen Klammer steht, ist falsch. Du hast das \(\frac{1}{t^2}\) differenziert, Du must es aber integrieren.
Das Gleiche gilt für das letzte Integral in Deiner 2. Zeile.

Hier die allgemeine Regel: \( \int u v'  \;= uv - \int u' v \)

Setzt man \(v'=\frac{1}{t^2}\), und \(u=\ln(t)\), dann ist \(v=\int \frac{1}{t^2} dt = -\frac{1}{t}\), und  \(u'=\frac{1}{t} \).

Die allgemeine Formel ergibt dann mit diesen u,u', v, v' und den Grenzen 1 und x:
\( \int_1^x \ln(t) \frac{1}{t^2} dt \;=\; \left[\ln(t) \cdot \left(-\frac{1}{t}\right)\right]_1^x - \int_1^x \frac{1}{t} \cdot \left(-\frac{1}{t}\right) dt
\;=\; \left[\ln(x) \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) - \ln(1) \cdot \left(-\frac{1}{1}\right)\right] + \int_1^x \frac{1}{t^2} dt
\)

Das kannst Du vereinfachen. Dabei hilft die folgende Formel:  \(\ln(1)=0\)

Dann musst Du noch das letzte Integral ausrechnen und "die Brocken einsammeln".