Folgende Frage zur Masstheorie

Aufrufe: 261     Aktiv: 04.01.2023 um 23:27

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Entscheiden Sie, ob es sich bei dem folgenden Mengensystem um einen Ring und /oder Halbring (über \(\Omega\) handelt:

\(\Omega\) = \(\mathbb{R}\) 
A` = {M \(\subset\) \(\mathbb{R}\)| M oder \(\mathbb{R}\) \ M ist abzählbar.}

Hinweis: Es gilt die Identität \(\mathbb{R}\) \ (A \ B) =  ( \(\mathbb{R}\) \ A) \(\cup\) B) 


Folgende Mengenrechnung  \(\mathbb{R}\)  \ ( A \ B ) müßte dann entweder ohne A und ohne B heißen oder  mit A und mit B, das ist mir hier nicht klar. Denn bei der Identität nach dem Gleichheitszeichen steht  \(\mathbb{R}\) \(\cup\) B. Deshalb ist mir hier die Identität nicht klar.
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Also habe ich das richtig verstanden du verstehst nicht wieso die Identität gilt?
  ─   karate 02.01.2023 um 22:08

Genau so ist es.   ─   atideva 02.01.2023 um 22:14

Hast du schon mal versucht die Mengengleichung zu beweisen?
  ─   karate 02.01.2023 um 22:16

Das habe ich schon versucht, und rechts kommt dann R oder B raus, sofern ich richtig gerechnet habe und links ist es mir nicht klar.   ─   atideva 02.01.2023 um 22:39

Könntest du mal den Beweis hochladen, dann können wir schauen wo der Fehler ist.
  ─   karate 02.01.2023 um 22:40

ich komm jetzt nur soweit, das links x \(\in\) \(\mathbb{R}\) v x \(\in\)A, da und rechts ist x \(\in\) \(\mathbb{R}\) v x \(\in\) B. Mehr ist mir nicht klar, sofern dass überhaupt stimmt?.   ─   atideva 02.01.2023 um 23:01

Hmm also ich sehe nicht ganz worauf du hinaus möchtest. Also du kannst entweder zeigen dass $$\Bbb{R}\setminus(A\setminus B)\subseteq (\Bbb{R}\setminus A)\cup B~~~~~~~~~\text{und}~~~~~~~\Bbb{R}\setminus(A\setminus B)\supseteq (\Bbb{R}\setminus A)\cup B$$ oder du kannst direkt $(\Bbb{R}\setminus A)\cup B=...$ umformen um auf die andere Seite zu kommen. Beides geht nur der zweite Weg ist ein wenig eleganter und übersichtlicher meiner Meinung nach. Aber wenn du den ersten machen willst so must du ein element $x\in \Bbb{R}\setminus(A\setminus B)$ wählen und zeigen dass $x\in (\Bbb{R}\setminus A)\cup B$ und umgekehrt. Wenn du Masstheorie besuchst, dann sollten aber für dich beide Wege gut machbar sein. Was möchtest du zeigen?   ─   karate 02.01.2023 um 23:09

Masstheorie besuchen, heißt nicht unbedingt, dass alles schon klar ist. Aktuell komme ich mit beiden Möglichkeiten also der eleganten oder der weniger eleganten Möglichkeit nicht klar.   ─   atideva 02.01.2023 um 23:24

Also es geht hier ja gar nicht um Masstheorie, sondern um Mengentheoretische Grundlangen welche du hoffentlich in Analysis 1 oder Linearer Algebra 1 schon mal gesehen hast. Ich schreibe unten als Antwort mal einen Tipp.
  ─   karate 02.01.2023 um 23:27

Ich habe dir unten auch einen Ansatz für die zweite Möglichkeit angehängt. Hab aber noch gewisse Lücken gelassen. Diese kannst du hoffentlich füllen.   ─   karate 02.01.2023 um 23:49
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Hier ein Tipp für den "eleganten Weg": $$\begin{align}(\Bbb{R}\setminus A)\cup B&=(\Bbb{R}\cap A^c)\cup B\\&=(\Bbb{R}\cup B)\cap (A^c\cup B)\\&=...\end{align}$$
Siehst du nun wie weiter?

Hier einen Ansatz zur zweiten Möglichkeit:

Nun zum zweiten Weg: 
 
Wir möchten zuerst zeigen dass $\Bbb{R}\setminus(A\setminus B)\supseteq (\Bbb{R}\setminus A)\cup B$. Na gut also wählen wir $x\in (\Bbb{R}\setminus A)\cup B$, doch das bedeutet dass $x\in \Bbb{R}\setminus A$ oder $x\in B$ liegt. Betrachten wir zuerst den Fall $x\in \Bbb{R}\setminus A$, das heisst $x\in \Bbb{R}$ und $x\not \in A$. Wieso gilt nun dass $x\not \in A\setminus B$ ? Denn wenn du das hättest, dann gilt $x\in \Bbb{R}\setminus(A\setminus B)$, das war ja genau das was wir wollten. 
Nun betrachten wir den Fall $x\in B$. Wieso gilt hier dass $x\in \Bbb{R}\setminus (A\setminus B)$?
Wenn du das hast, haben wir nun gezeigt dass $\Bbb{R}\setminus(A\setminus B)\supseteq (\Bbb{R}\setminus A)\cup B$. 
 
Um nun die Gleichung zu zeigen, müssen wir auch beweisen, dass $\Bbb{R}\setminus(A\setminus B)\subseteq (\Bbb{R}\setminus A)\cup B$. Dafür wählen wir nun also $x\in \Bbb{R}\setminus(A\setminus B)$ und möchten zeigen, dass $x\in (\Bbb{R}\setminus A)\cup B$.  Wie würdest du hier weitermachen?
 
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Student, Punkte: 1.77K

 

Ich komme genau ab dem Punkt x\(\in\) A\B nicht mehr weiter.   ─   atideva 03.01.2023 um 07:58

Wo steht dann bei mir $x\in A\setminus B$?
  ─   karate 03.01.2023 um 08:23

Das war natürlich ein Tippfehler, x\(\notin\) A\B ?   ─   atideva 03.01.2023 um 10:14

ah okey, aber was möchtest du denn genau zeigen? Denn wir wissen $x\in \Bbb{R}$ und $x\not \in A$. Und was ist dann genau unser Ziel?
  ─   karate 03.01.2023 um 10:15

Bei x\(\notin\) A\B müsste jetzt x\(\in\)A oder x\(\in\)B, bin mir aber nicht sicher
  ─   atideva 03.01.2023 um 11:30

Nein, das stimmt nicht. Beachte dass $A\setminus B:=\{x\in \Bbb{R}: x\in A~~~\text{und}~~~x\not\in B\}$. Denn wenn $x\not \in A\setminus B$ dann gilt $x\in A^c$ oder $x\in B$.
Aber meiner Meinung nach brauchst du diese Definition hier gar nicht so explizit. Also ist dir klar, dass wir zeigen müssen dass $x\not \in A\Rightarrow x\not\in A\setminus B$ ?
  ─   karate 03.01.2023 um 11:38

Falls dir das nicht klar ist, kannst du es selbstverständlich sagen, dann versuchen wir das zu erklären.
  ─   karate 03.01.2023 um 22:14

wenn du die Antwort hast und keine Hilfe mehr benötigst, hacke doch bitte die Frage ab, damit dies auch für andere ersichtlich ist.   ─   karate 04.01.2023 um 23:27

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