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Hier ein Tipp für den "eleganten Weg": $$\begin{align}(\Bbb{R}\setminus A)\cup B&=(\Bbb{R}\cap A^c)\cup B\\&=(\Bbb{R}\cup B)\cap (A^c\cup B)\\&=...\end{align}$$
Siehst du nun wie weiter?
Hier einen Ansatz zur zweiten Möglichkeit:
Siehst du nun wie weiter?
Hier einen Ansatz zur zweiten Möglichkeit:
Nun zum zweiten Weg:
Wir möchten zuerst zeigen dass $\Bbb{R}\setminus(A\setminus B)\supseteq (\Bbb{R}\setminus A)\cup B$. Na gut also wählen wir $x\in (\Bbb{R}\setminus A)\cup B$, doch das bedeutet dass $x\in \Bbb{R}\setminus A$ oder $x\in B$ liegt. Betrachten wir zuerst den Fall $x\in \Bbb{R}\setminus A$, das heisst $x\in \Bbb{R}$ und $x\not \in A$. Wieso gilt nun dass $x\not \in A\setminus B$ ? Denn wenn du das hättest, dann gilt $x\in \Bbb{R}\setminus(A\setminus B)$, das war ja genau das was wir wollten.
Nun betrachten wir den Fall $x\in B$. Wieso gilt hier dass $x\in \Bbb{R}\setminus (A\setminus B)$?
Wenn du das hast, haben wir nun gezeigt dass $\Bbb{R}\setminus(A\setminus B)\supseteq (\Bbb{R}\setminus A)\cup B$.
Um nun die Gleichung zu zeigen, müssen wir auch beweisen, dass $\Bbb{R}\setminus(A\setminus B)\subseteq (\Bbb{R}\setminus A)\cup B$. Dafür wählen wir nun also $x\in \Bbb{R}\setminus(A\setminus B)$ und möchten zeigen, dass $x\in (\Bbb{R}\setminus A)\cup B$. Wie würdest du hier weitermachen?
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geantwortet
karate
Student, Punkte: 1.95K
Student, Punkte: 1.95K
Ich komme genau ab dem Punkt x\(\in\) A\B nicht mehr weiter.
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atideva
03.01.2023 um 07:58
Wo steht dann bei mir $x\in A\setminus B$?
─ karate 03.01.2023 um 08:23
─ karate 03.01.2023 um 08:23
Das war natürlich ein Tippfehler, x\(\notin\) A\B ?
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atideva
03.01.2023 um 10:14
ah okey, aber was möchtest du denn genau zeigen? Denn wir wissen $x\in \Bbb{R}$ und $x\not \in A$. Und was ist dann genau unser Ziel?
─ karate 03.01.2023 um 10:15
─ karate 03.01.2023 um 10:15
Bei x\(\notin\) A\B müsste jetzt x\(\in\)A oder x\(\in\)B, bin mir aber nicht sicher
─ atideva 03.01.2023 um 11:30
─ atideva 03.01.2023 um 11:30
Nein, das stimmt nicht. Beachte dass $A\setminus B:=\{x\in \Bbb{R}: x\in A~~~\text{und}~~~x\not\in B\}$. Denn wenn $x\not \in A\setminus B$ dann gilt $x\in A^c$ oder $x\in B$.
Aber meiner Meinung nach brauchst du diese Definition hier gar nicht so explizit. Also ist dir klar, dass wir zeigen müssen dass $x\not \in A\Rightarrow x\not\in A\setminus B$ ? ─ karate 03.01.2023 um 11:38
Aber meiner Meinung nach brauchst du diese Definition hier gar nicht so explizit. Also ist dir klar, dass wir zeigen müssen dass $x\not \in A\Rightarrow x\not\in A\setminus B$ ? ─ karate 03.01.2023 um 11:38
Falls dir das nicht klar ist, kannst du es selbstverständlich sagen, dann versuchen wir das zu erklären.
─ karate 03.01.2023 um 22:14
─ karate 03.01.2023 um 22:14
wenn du die Antwort hast und keine Hilfe mehr benötigst, hacke doch bitte die Frage ab, damit dies auch für andere ersichtlich ist.
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karate
04.01.2023 um 23:27
─ karate 02.01.2023 um 22:08