Fourier Reihe Komplex in reell umwandeln

Aufrufe: 149     Aktiv: 14.04.2024 um 22:45

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Ich möchte eine Fourier Reihe von einer abschnittsweisen definierten Funktion in komplexer Form entwickeln und anschließend reell umwandeln




$f:(-\pi;\pi]\to \mathbb{R},\;\;\;f(x)= \begin{cases} x & -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\ 0 & -\pi \leq x < -\frac{\pi}{2} \;\;\; \bigcup \;\;\; \frac{\pi}{2} < x \leq \pi\end{cases}$


Komplexe Fourierkoeffizienten berechnen


$c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}f(x)e^{-inx}dx$



$c_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}xe^0dx=0$



$c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}xe^{-inx}dx=\frac{1}{2\pi n^2}(in\frac{\pi}{2} e^{in\frac{\pi}{2}}+in\frac{\pi}{2} e^{-in\frac{\pi}{2}}+e^{-in\frac{\pi}{2}}-e^{in\frac{\pi}{2}})$




$=\frac{1}{2\pi n^2}(in\frac{\pi}{2}(e^{in\frac{\pi}{2}}+e^{-in\frac{\pi}{2}})-(e^{in\frac{\pi}{2}}-e^{-in\frac{\pi}{2}})$



$=\frac{1}{2\pi n^2}(2in\pi cos(n\frac{\pi}{2})-2isin(n\frac{\pi}{2}))$



$=\frac{icos(n\frac{\pi}{2})}{n}-\frac{isin(n\frac{\pi}{2})}{\pi n^2}$



Fallunterscheidung durchführen für gerade und ungerade $n$

$cos(n\frac{\pi}{2})=(-1)^n \;\;\; \;\;\; \;\;\; n, 2n$



$sin(n\frac{\pi}{2})=(-1)^{n+1} \;\;\; \;\;\; n, 2n-1$



$=\frac{i(-1)^n}{2n}-\frac{i(-1)^{n+1}}{\pi n^2}$


$=(\frac{(-1)^n}{2n}+\frac{(-1)^{n+2}}{\pi (2n-1)^2})i=(\frac{(-1)^n}{2n}+\frac{(-1)^{n+2}}{\pi (2n-1)^2})e^{i\frac{\pi}{2}}$



$=f(x)=\sum_{-\infty}^{\infty}(\frac{(-1)^n}{2n}+\frac{(-1)^{n+2}}{\pi (2n-1)^2})e^{i\frac{\pi}{2}x}e^{-i\frac{\pi}{2}x}$





$=\sum_{n=1}^{\infty}2(\frac{(-1)^n}{2n}+\frac{(-1)^{n+2}}{\pi (2n-1)^2})cos(nx+\frac{\pi}{2})$




Das reelle Ergebnis ist falsch.

Kann mir jemand sagen wo der Fehler ist? Vielen Dank

EDIT vom 14.04.2024 um 21:11:

Ich habe meinen Fehler gefunden. Ich habe in einem Rechenschritt eine $2$ zu viel. Ich schreibe meinen vollständigen Rechenweg hier noch mal hin. Das Ergebnis ist ähnlich mit dem obigen Beitrag aber mit phasenverschobenen Kosinustermen.



$f:(-\pi;\pi]\to \mathbb{R},\;\;\;f(x)= \begin{cases} x & -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\ 0 & -\pi \leq x < -\frac{\pi}{2} \;\;\; \bigcup \;\;\; \frac{\pi}{2} < x \leq \pi\end{cases}$




Komplexe Fourierkoeffizienten berechnen

$c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}f(x)e^{-inx}dx$



$c_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}xe^0dx=0$



$c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}xe^{-inx}dx=\frac{1}{2\pi n^2}(in\frac{\pi}{2} e^{in\frac{\pi}{2}}+in\frac{\pi}{2} e^{-in\frac{\pi}{2}}+e^{-in\frac{\pi}{2}}-e^{in\frac{\pi}{2}})$



$=\frac{1}{2\pi n^2}(in\frac{\pi}{2}(e^{in\frac{\pi}{2}}+e^{-in\frac{\pi}{2}})-(e^{in\frac{\pi}{2}}-e^{-in\frac{\pi}{2}})$



$=\frac{1}{2\pi n^2}(in\pi cos(n\frac{\pi}{2})-2isin(n\frac{\pi}{2}))$




$cos(n\frac{\pi}{2})=(-1)^n \;\;\; \;\;\; \;\;\; n, 2n$



$sin(n\frac{\pi}{2})=(-1)^{n+1} \;\;\; \;\;\; n, 2n-1$



$=\frac{n(-1)^n}{2n^2}i-\frac{(-1)^{n+1}}{\pi n^2}i$



$=\frac{2n(-1)^n}{2(2n)^2}i+\frac{(-1)^{n+2}}{\pi (2n-1)^2}i$



$=\frac{2n(-1)^n}{2(4n^2)}i+\frac{(-1)^{n}}{\pi (2n-1)^2}i$



$=\frac{(-1)^n}{4n}i+\frac{(-1)^{n}}{\pi (2n-1)^2}i$



$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4n}e^{i\frac{\pi}{2}}e^{-i\frac{\pi}{2}}+\frac{(-1)^{n}}{\pi (2n-1)^2}e^{i\frac{\pi}{2}}e^{-i\frac{\pi}{2}}$




$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n}cos((2n)x+\frac{\pi}{2})+\frac{2(-1)^{n}}{\pi (2n-1)^2}cos((2n-1)x+\frac{\pi}{2})$
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1 Antwort
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$c_0$ stimmt, bei $c_n$ komme ich auf andere Vorzeichen.
Was Du danach rechnest, verstehe ich nicht.
Die Formel besagt:$a_0=2c_0=0$ und $a_n=2Re\, c_n=0$.
Also ist das eine reine $\sin$-Reihe - klar, da ja eine ungerade Funktion vorliegt.
$b_n=-2Im\, c_n=....$.
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Ok, mein $c_n$ stimmte auch nicht ganz. Deines sollte jetzt stimmen.
Was Du mit $n,2n$ usw. meinst, weiß ich nicht. Verwende vollständige Sätze in Deinen Rechnungen (wenn Du willst, dass jemand anders es versteht). Ich weiß auch nicht, warum Du den von mir erwähnten üblichen Rechenweg nicht einschlägst. Du rechnest aufwendiger, das ist immer riskant.
Dein Endergebnis stimmt aber, aber Du solltest $\cos(x+\frac\pi2)=-\sin x$ verwenden (und in LaTeX \cos und \sin).
  ─   mikn 14.04.2024 um 22:45

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