Ich möchte eine Fourier Reihe von einer abschnittsweisen definierten Funktion in komplexer Form entwickeln und anschließend reell umwandeln




$f:(-\pi;\pi]\to \mathbb{R},\;\;\;f(x)= \begin{cases} x & -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\ 0 & -\pi \leq x < -\frac{\pi}{2} \;\;\; \bigcup \;\;\; \frac{\pi}{2} < x \leq \pi\end{cases}$


Komplexe Fourierkoeffizienten berechnen


$c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}f(x)e^{-inx}dx$



$c_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}xe^0dx=0$



$c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}xe^{-inx}dx=\frac{1}{2\pi n^2}(in\frac{\pi}{2} e^{in\frac{\pi}{2}}+in\frac{\pi}{2} e^{-in\frac{\pi}{2}}+e^{-in\frac{\pi}{2}}-e^{in\frac{\pi}{2}})$




$=\frac{1}{2\pi n^2}(in\frac{\pi}{2}(e^{in\frac{\pi}{2}}+e^{-in\frac{\pi}{2}})-(e^{in\frac{\pi}{2}}-e^{-in\frac{\pi}{2}})$



$=\frac{1}{2\pi n^2}(2in\pi cos(n\frac{\pi}{2})-2isin(n\frac{\pi}{2}))$



$=\frac{icos(n\frac{\pi}{2})}{n}-\frac{isin(n\frac{\pi}{2})}{\pi n^2}$



Fallunterscheidung durchführen für gerade und ungerade $n$

$cos(n\frac{\pi}{2})=(-1)^n \;\;\; \;\;\; \;\;\; n, 2n$



$sin(n\frac{\pi}{2})=(-1)^{n+1} \;\;\; \;\;\; n, 2n-1$



$=\frac{i(-1)^n}{2n}-\frac{i(-1)^{n+1}}{\pi n^2}$


$=(\frac{(-1)^n}{2n}+\frac{(-1)^{n+2}}{\pi (2n-1)^2})i=(\frac{(-1)^n}{2n}+\frac{(-1)^{n+2}}{\pi (2n-1)^2})e^{i\frac{\pi}{2}}$



$=f(x)=\sum_{-\infty}^{\infty}(\frac{(-1)^n}{2n}+\frac{(-1)^{n+2}}{\pi (2n-1)^2})e^{i\frac{\pi}{2}x}e^{-i\frac{\pi}{2}x}$





$=\sum_{n=1}^{\infty}2(\frac{(-1)^n}{2n}+\frac{(-1)^{n+2}}{\pi (2n-1)^2})cos(nx+\frac{\pi}{2})$




Das reelle Ergebnis ist falsch.

Kann mir jemand sagen wo der Fehler ist? Vielen Dank

EDIT vom 14.04.2024 um 21:11:

Ich habe meinen Fehler gefunden. Ich habe in einem Rechenschritt eine $2$ zu viel. Ich schreibe meinen vollständigen Rechenweg hier noch mal hin. Das Ergebnis ist ähnlich mit dem obigen Beitrag aber mit phasenverschobenen Kosinustermen.



$f:(-\pi;\pi]\to \mathbb{R},\;\;\;f(x)= \begin{cases} x & -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\ 0 & -\pi \leq x < -\frac{\pi}{2} \;\;\; \bigcup \;\;\; \frac{\pi}{2} < x \leq \pi\end{cases}$




Komplexe Fourierkoeffizienten berechnen

$c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}f(x)e^{-inx}dx$



$c_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}xe^0dx=0$



$c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}xe^{-inx}dx=\frac{1}{2\pi n^2}(in\frac{\pi}{2} e^{in\frac{\pi}{2}}+in\frac{\pi}{2} e^{-in\frac{\pi}{2}}+e^{-in\frac{\pi}{2}}-e^{in\frac{\pi}{2}})$



$=\frac{1}{2\pi n^2}(in\frac{\pi}{2}(e^{in\frac{\pi}{2}}+e^{-in\frac{\pi}{2}})-(e^{in\frac{\pi}{2}}-e^{-in\frac{\pi}{2}})$



$=\frac{1}{2\pi n^2}(in\pi cos(n\frac{\pi}{2})-2isin(n\frac{\pi}{2}))$




$cos(n\frac{\pi}{2})=(-1)^n \;\;\; \;\;\; \;\;\; n, 2n$



$sin(n\frac{\pi}{2})=(-1)^{n+1} \;\;\; \;\;\; n, 2n-1$



$=\frac{n(-1)^n}{2n^2}i-\frac{(-1)^{n+1}}{\pi n^2}i$



$=\frac{2n(-1)^n}{2(2n)^2}i+\frac{(-1)^{n+2}}{\pi (2n-1)^2}i$



$=\frac{2n(-1)^n}{2(4n^2)}i+\frac{(-1)^{n}}{\pi (2n-1)^2}i$



$=\frac{(-1)^n}{4n}i+\frac{(-1)^{n}}{\pi (2n-1)^2}i$



$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4n}e^{i\frac{\pi}{2}}e^{-i\frac{\pi}{2}}+\frac{(-1)^{n}}{\pi (2n-1)^2}e^{i\frac{\pi}{2}}e^{-i\frac{\pi}{2}}$




$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n}cos((2n)x+\frac{\pi}{2})+\frac{2(-1)^{n}}{\pi (2n-1)^2}cos((2n-1)x+\frac{\pi}{2})$