Ausgeglichene Abbildung

Erste Frage Aufrufe: 225     Aktiv: 11.01.2023 um 19:21

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Aufgabe
Es sei $ \emptyset \neq X \subseteq Z \times Z $ eine endliche Menge. Ein $ x=(x_1,x_2) \in X $ heißt $ {\it innerer~Punkt} $ von $ X $, wenn $  Y(x):=\{(x_1-1,x_2), (x_1+1,x_2), (x_1,x_2-1), (x_1,x_2+1) \}  $ eine Teilmenge von $ X $ ist. Sonst heißt $ x $ ein $ {\it Randpunkt} $ von $ X $. Eine Abbildung $ f:X \rightarrow R $ heißt $ {\it ausgeglichen}, $ wenn $ f(x) = \frac{1}{4} \sum_{y \in Y(x)} f(y) $ für alle inneren Punkte $ x \in X $ gilt. Zeigen Sie:
 
 
(i) Die Menge aller ausgeglichenen Abbildungen auf $ X $ ist ein Teilraum des Vektorraums $ R^X $.
 
(ii) Jede ausgeglichene Abbildung auf $ X $ ist durch ihre Werte auf den Randpunkten von $ X $ bereits eindeutig bestimmt. (Hinweis: Betrachten Sie zunachst den Fall, dass die Abbildung auf den Randpunkten den Wert 0 annimmt, und untersuchen Sie, wo sie ihr Maximum annimmt.)
 
(iii) Zu beliebig vorgegebenen Werten fur die Randpunkte von $ X $ gibt es stets eine ausgeglichene Abbildung auf $ X $, die auf den Randpunkten die vorgegebenen Werte annimt.

Hallo, zusammen,
 
Zunächst ist mir nicht klar, was genau "ausgeglichen" bedeutet. Wenn ich den Punkt $ x=(x_1,x_2) $ betrachte, so ist doch $ f(x) = \frac{1}{4} \sum_{y \in Y(x)} f(y)=(x_1,x_2) $. Und was bedeutet das nun?
 
Ich denke, dass ich bei (i) die Untervektorraumkriterien überprüfen muss?
 
Sei $ $W:=\left\{f:X\to R~|~\text{f ist ausgeglichen.}\right\}. $
 
Es gilt $ W\subseteq R^X $, da jede ausgeglichene Abbildung insbesondere eine Abbildung von $ X $ nach $ R $ ist.
 
Dass $ W\neq \emptyset $, ist klar, da man z.B. die Menge $ X:={(0,1),(2,1),(1,0),(1,2),(1,1)} $ betrachten kann, für die die Ausgeglichenheit gegeben ist.
 
Falls zwei Mengen $ X_{1},X_{2} $ existieren, wobei $ f_{1}:X_{1}\to R\subseteq W $ und $ f_{2}:X_{2}\to R\subseteq W $ ausgeglichen sind, so gilt insbesondere für jeden inneren Punkt aus $ f_{1}+f_{2}:X_{1}\cup X_{2}\to R $, dass er die Bedingung eines inneren Punktes erfüllt.
 
Aber wie zeig ich das vernünftig mit der Abgeschlossenheit bzgl. der skalaren Multiplikation?
 
Für (ii) und (iii) muss ich erst mal verstehen, was es mit dieser Summe auf sich hat.
 
 
Vielen Dank, Stefan.


 
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Hier geht einiges durcheinander.
Was willst Du denn der Def. von "ausgeglichen" für eine Bedeutung beimessen? Man kann die Aufgabe problemlos lösen, ohne den tieferen Sinn dahinter zu sehen. Aber Du kannst mal überlegen, warum die Abb. gerade "ausgeglichen" heißt, was die Summe in Kombination mit dem Faktor $\frac14$ davor bedeutet. Wie gesagt, ist das für die Aufgabe aber nicht nötig.
"...Menge $X$, für die die Ausgeglichenheit gegeben ist": Nein. Ausgeglichen sind Abbildungen, keine Mengen. Achte immer darauf, von welchen Objekten die Rede ist.
"Falls zwei Mengen....": Nein. Wir haben in der Aufgabe eine feste Menge $X$.
"innerer Punkt aus $f_1+f_2$: Nein. Ein Punkt aus einer Funktion??? Achte auf die Objekte - nicht ab und zu, sondern immer.
Es geht um eine feste Menge $X$ und einer Menge von auf $X$ definierten Funktionen. Diese Funktionenmenge solle ein UR sein.
Wenn Du das obige beherzigst, sollte (i) kein Problem sein.
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Hallo,
(i) habe ich gelöst, aber kann ich dennoch nicht (iii) lösen. Hast du vielleicht eine Idee, wie man (iii) lösen kann?
  ─   userba9175 11.01.2023 um 16:46

Was für Dich die passende Idee ist, hängt davon ab, in welcher Vorlesung dieses Thema dran ist und was Ihr für Resultate dazu habt.
Ich selbst würde numerisch rangehen, und für die unbekannten Funktionswerte $y_i=f(x_i)$ ein LGS aufstellen. Die zugehörige Matrix ist dann schwach diagonaldominant und irreduzibel, was die Lösbarkeit des LGS und damit die Existenz der $y_i$, also der ausgeglichenen Funktion, garantiert.
  ─   mikn 11.01.2023 um 19:21

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Das ist doch keine Antwort auf obige Frage. Lies doch erstmal den Kodex (link oben rechts). Und schau Dich hier mal um, dann siehst Du wie das läuft.   ─   mikn 02.01.2023 um 12:58

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