Vektorräume

Aufrufe: 721     Aktiv: 31.03.2020 um 17:12

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Sind die reellen Zahlen ein Vektorraum? Oder muss ein Vektorraum mindestens zweidimensional sein?

Sind dann auch die ganzen Zahlen/rationalen Zahlen Vektorräume? Eigentlich treffen ja alle Vektorraumaxiome auf sie zu.

Vielen Dank,

Marie

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Student, Punkte: 18

 
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Hallo,

ja, man kann durhaus \(\Bbb{R}\) als Vektorraum über dem Körper \(\Bbb{R}\) definieren. Wenn die Axiome für Deinen gewählten Körper und die Menge der Vektoren die Du Dir aussuchst erfüllt sind, dann hast Du auch einen Vektorraum. Es gibt auch ein paar "kuriose" Vektorräume (zum Beispiel: der VR der stetigen Funktionen über \(\Bbb{R}\)) die nicht mehr so kurios sind, wenn man mal öfter etwas mit ihnen zu tun hatte. Je nachdem was Du studierst, wirst Du noch einige kennenlernen ;-)

Viele Grüße und bleib neugierig,

MoNil

 

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Ach, ein Addendum: bei \(\Bbb{Z}\) muss man nur aufpassen; da \(\Bbb{Z}\) selbst kein Körper ist, daher ist \(\Bbb{Z}\) auch kein VR über "sich selbst" (im Gegensatz zu \(\Bbb{R}\) oder \(\Bbb{Q}\)). Schwierigkeiten macht bei \(\Bbb{Z}\) die äußere Verknüpfung \(K\times V \rightarrow V\). Wählst Du z.B. \(\Bbb{Q}\) als Körper für \(\Bbb{Z}\) ist diese äußere Verknüfung nicht wieder im Vektorraum: \(\frac{3}{7}\cdot 4\notin \Bbb{Z}\).   ─   monil 31.03.2020 um 16:27

Vielen Dank MoNil, du hast gerade zwei Mathestudenten geholfen, die sich auf die Prüfung in LinA1 vorbereiten müssen :)   ─   marie24 31.03.2020 um 17:06

Hey, freut mich. LinA1 - good old times ;-)   ─   monil 31.03.2020 um 17:12

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