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In endlichen Mengen kann man, genügend Zeit und Ressourcen vorausgesetzt, jedes Element identifizieren, zum Beispiel bei natürlichen Zahlen die Dezimaldarstellung angeben. Das ist die einfachste Definition von Identifizierbarkeit. Andere Möglichkeiten wären Binärdarstellung 111, Unärdarstellung ooooooo, indirekter Bezug (Tage in der Woche, Zwerge bei Schneewittchen) oder andere Bezeichnungen, die Sender und Empfänger bekannt sind (Sieben, seven).
Allerdings ist das nur die Antwort der idealen Mathematik. Will man sich damit nicht begnügen, sondern die tatsächlichen Möglichkeiten erkunden, dann muss man die Ressourcen des Systems berücksichtigen. Im ganzen zugänglichen Universum gibt es weniger als $10^{80}$ Protonen. Selbst wenn man jedes zur Darstellung eines Bits nutzen könnte, wären Zahlen mit einem größeren Informationsgehalt nicht identifizierbar. Man kann zwar leicht Zahlen wie $10^{{10}^{1000}}$ darstellen, denn die benötigen nur wenige Bits. Aber zum Beispiel eine Zahl mit $10^{100}$ nicht durch eine kürzere Regel darstellbaren Stellen kann man nicht identifizieren. Das Stichwort ist hier Kolmogorov complexity. Man kann also nicht alle Zahlen zwischen 0 und $10^{{10}^{100}}$ darstellen. Ein einfaches Beispiel ist der Taschenrechner. Man kann nur 10 Stellen erfassen. Mit Exponent kann man leicht $10^{95}$ darstellen, aber die Zahl 1234567890123 nicht. Die Darstellbarkeit ist also vom System abhängig. Außerdem sind Zahlen mit großem Informationsgehalt nicht übermäßig interessant. Deshalb berücksichtigt man sie in der idealen, klassischen Mathematik nicht.
Eine andere Frage betrifft unendliche Mengen. Zwar sind die Elemente von abzählbar unendlichen Mengen nach Mengenlehre alle identifizerbar (wenn man von Zeit und Ressourcen absieht), aber dieser Standpunkt ist falsch. Denn jede identifizierbare natürliche Zahl gehört zu einem endlichen Anfangsabschnitt, auf den noch $\aleph_0$ Zahlen folgen. Die kann man niemals alle identifizieren. $\aleph_0$ bleiben immer übrig. Ich nenne sie dunkle Zahlen. Es gibt mehrere Anhaltspunkte für ihre Existenz, einige sind hier dargestellt https://www.academia.edu/44503118/Dark_Numbers
Allerdings ist das nur die Antwort der idealen Mathematik. Will man sich damit nicht begnügen, sondern die tatsächlichen Möglichkeiten erkunden, dann muss man die Ressourcen des Systems berücksichtigen. Im ganzen zugänglichen Universum gibt es weniger als $10^{80}$ Protonen. Selbst wenn man jedes zur Darstellung eines Bits nutzen könnte, wären Zahlen mit einem größeren Informationsgehalt nicht identifizierbar. Man kann zwar leicht Zahlen wie $10^{{10}^{1000}}$ darstellen, denn die benötigen nur wenige Bits. Aber zum Beispiel eine Zahl mit $10^{100}$ nicht durch eine kürzere Regel darstellbaren Stellen kann man nicht identifizieren. Das Stichwort ist hier Kolmogorov complexity. Man kann also nicht alle Zahlen zwischen 0 und $10^{{10}^{100}}$ darstellen. Ein einfaches Beispiel ist der Taschenrechner. Man kann nur 10 Stellen erfassen. Mit Exponent kann man leicht $10^{95}$ darstellen, aber die Zahl 1234567890123 nicht. Die Darstellbarkeit ist also vom System abhängig. Außerdem sind Zahlen mit großem Informationsgehalt nicht übermäßig interessant. Deshalb berücksichtigt man sie in der idealen, klassischen Mathematik nicht.
Eine andere Frage betrifft unendliche Mengen. Zwar sind die Elemente von abzählbar unendlichen Mengen nach Mengenlehre alle identifizerbar (wenn man von Zeit und Ressourcen absieht), aber dieser Standpunkt ist falsch. Denn jede identifizierbare natürliche Zahl gehört zu einem endlichen Anfangsabschnitt, auf den noch $\aleph_0$ Zahlen folgen. Die kann man niemals alle identifizieren. $\aleph_0$ bleiben immer übrig. Ich nenne sie dunkle Zahlen. Es gibt mehrere Anhaltspunkte für ihre Existenz, einige sind hier dargestellt https://www.academia.edu/44503118/Dark_Numbers
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wm
Lehrer/Professor, Punkte: 40
Lehrer/Professor, Punkte: 40
@Cauchy: Würdest Du Dich bitte etwas angemessener benehmen! Wenn Du nicht intelligent genug bist, meinen Text zu verstehen, dann solltest Du wenigstens ein anderes Pseudonym wählen. Es geht nicht um die o.a. Zahl, sondern um kleinere Zahlen mit größerer Kolmogoroff-Komplexität.
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wm
16.06.2022 um 17:52
@Cauchy: Es geht darum, dass man zwar beliebig große Zahlen definieren kann, zum Beispiel Grahams Zahl mit Hilfe der Knuthschen Pfeilschreibweise, aber viele kleinere Zahlen nicht. Man kann die folgende Zahl mit wenigen Bits definieren: $101010...10$ mit $10^{{{10}^{10}}^{10}}$ Paaren $10$, aber Zahlen mit $10^{100}$ Ziffern ohne eine solche Regel eben nicht. Es gibt also zwischen $0$ und $10^{{10}^{100}}$ viele Zahlen, die man nicht angeben und damit auch nicht identifizieren kann. Und das war doch die Frage.
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wm
17.06.2022 um 12:12