Automorphismus; Zeigen, dass Polynom existiert.

Aufrufe: 54     Aktiv: 13.05.2021 um 17:01

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Es sei F : V → V ein Automorphismus eines endlich-dimensionalen K-Vektorraums V. Zeigen Sie, dass ein Polynom Q ∈ K[t] mit F −1 = Q(F) existiert.
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So wie es dasteht, ist das offensichtlich, denn \(Q=t-1\) funktioniert. Meintest du vielleicht \(F^{-1}\) statt \(F-1\)? Das wäre eine interessantere Frage.   ─   stal 13.05.2021 um 14:09

Ja, du hast absolut recht. Ich meinte F^-1.   ─   userd43151 13.05.2021 um 15:38

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1 Antwort
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Sei \(\mu(t)\in K[t]\) das Minimalpolynom von \(F\), d.h. das eindeutige normierte Polynom von minimalem Grad mit \(\mu(F)=0\). Sei \(\mu(t)=\sum_{i=0}^n\lambda_it^i,\ \lambda_i\in K\). Dann gilt \(\lambda_0\neq0\) (Beweis: Übung. Zeige am besten: \(\lambda_0=0\Longrightarrow F\) nicht injektiv), sodass wir umstellen können: $$0=\sum_{i=0}^n\lambda_iF^i\Longleftrightarrow \mathrm{id}_V=-\frac1{\lambda_0}\sum_{i=1}^n\lambda_iF^i=F\circ\sum_{i=1}^n\frac{-\lambda_i}{\lambda_0}F^{i-1}=\sum_{i=1}^n\frac{-\lambda_i}{\lambda_0}F^{i-1}\circ F$$ Wenn du jetzt genau hinschaust, siehst du, dass \(F^{-1}=\sum_{i=1}^n\frac{-\lambda_i}{\lambda_0}F^{i-1}\).
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Könntest du den letzten Punkt etwas genauer erläutern, was meinst du mit etwas genauer hinschauen, kann sein das ich gerade etwas auf dem Schlauch stehe, aber mir ist das nicht ganz klar.

Aber aufjedenfall schon mal vielen Dank!
  ─   userd43151 13.05.2021 um 16:43

Die Umkehrfunktion einer Funktion \(F:A\to B\) ist eine Funktion \(G:B\to A\), sodass \(F\circ G=\mathrm{id}_B\) und \(G\circ F=\mathrm{id}_A\). In diesem Fall ist \(A=B=V\), sodass sich das vereinfacht zu \(F\circ G=G\circ F=\mathrm{id}_V\), und das ist genau das, was dasteht.   ─   stal 13.05.2021 um 17:01

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