Differenzierbarkeit und b (einsetzen von x = 0) kann man so lösen, wie Du vorschlägst (ausrechnen des Integrals), aber beides geht fast einfacher mit allgemeinen Sätzen der Art: Integralfunktionen sind unter den und den Bedingungen differenzierbar, Produkte von differenzierbaren Funktionen sind wieder ... usw.

Für die Abschätzung in a) dürfte es nötig sein, ein bisschen zu rechnen/abzuschätzen. Die behauptete Ungleichung kannst Du ja äquivalent umformen, indem du alle Exemplare von x (außer das in der Integrationsgrenze) auf die gleiche Seite bringst. Dann bekommst Du eine Behauptung über eine Abschätzung des Integrals. Die sollte man nun sowohl durch "Ausrechnen des Integrals" (und anschließendes Abschätzen) als auch evtl. gleich über "Abschätzen des Integranden und Schließen auf die Größe des Integrals" beweisen können.

Meine Hinweise sind jetzt erst einmal bewusst vage, aber vielleicht reichen sie ja schon für einen Start?