Ableitung mit Differenzenquotient

Aufrufe: 37     Aktiv: 15.02.2021 um 20:48

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Guten Tag, 
ich verzweifle an dieser Aufgabe a). Welche Werte setze ich in die Ableitungsformel ein? Die Funktion geht ja gegen unendlich. Also was ist x0 und x1?


Vielen vielen Dank!
LG
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Student, Punkte: 52

 

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Für \(x\in\mathbb R\) gilt $$f'(x)=\lim_{y\to x}\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$$ In deinem Fall ergib sich $$f'(x)=\lim_{y\to x}\frac{\frac1{y^2}-\frac1{x^2}}{y-x}=\lim_{y\to x}\frac{\frac{x^2-y^2}{x^2y^2}}{y-x}=\lim_{y\to x}\frac{(x-y)(x+y)}{x^2y^2(y-x)}=\lim_{y\to x}\frac{-(x+y)}{x^2y^2}=\frac{-2x}{x^4}=-\frac2{x^3}$$
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Vielen Dank!!! Das heißt, wenn ich kein Intervall gegeben habe, lasse ich x (du hast y genommen) einfach gegen eine Variable laufen? Ich habe es bisher immer als x läuft gegen a gesehen   ─   felix1220 15.02.2021 um 19:43

Wie du deine Variablen nennst, ist irrelevant. Du kannst auch \(f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) berechnen. Aber ja, wenn du die Ableitung berechnen sollst, bildest du den Grenzwert, so ist die Ableitung ja definiert.   ─   stal 15.02.2021 um 19:45

Üblich ist auch, \(x\) und \(x+h\) zu nehmen und \(h\) gegen 0 laufen zu lassen, Stichwort h-Methode.   ─   cauchy 15.02.2021 um 20:48

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