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Für \(x\in\mathbb R\) gilt $$f'(x)=\lim_{y\to x}\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$$ In deinem Fall ergib sich $$f'(x)=\lim_{y\to x}\frac{\frac1{y^2}-\frac1{x^2}}{y-x}=\lim_{y\to x}\frac{\frac{x^2-y^2}{x^2y^2}}{y-x}=\lim_{y\to x}\frac{(x-y)(x+y)}{x^2y^2(y-x)}=\lim_{y\to x}\frac{-(x+y)}{x^2y^2}=\frac{-2x}{x^4}=-\frac2{x^3}$$
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stal
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Vielen Dank!!! Das heißt, wenn ich kein Intervall gegeben habe, lasse ich x (du hast y genommen) einfach gegen eine Variable laufen? Ich habe es bisher immer als x läuft gegen a gesehen
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felix1220
15.02.2021 um 19:43
Wie du deine Variablen nennst, ist irrelevant. Du kannst auch \(f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) berechnen. Aber ja, wenn du die Ableitung berechnen sollst, bildest du den Grenzwert, so ist die Ableitung ja definiert.
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stal
15.02.2021 um 19:45