Kreuze die zutreffenden Aussagen an.

Aufrufe: 231     Aktiv: 14.11.2023 um 20:14
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Kreuze die zutreffenden Aussagen an.

1. Sind A und B disjunkt, so gilt P(A U B) = 1.

2. Es gibt abhängige Zufallsvariablen X und Y für die Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) gilt.

3. Ist X bernoulliverteilt mit Parameter p, so ist X? bernoulliverteilt mit Parameter p?.

4. Sie werfen zwei faire Münzen hintereinander. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze Kopf zeigt, gegeben, dass die andere Münze Kopf zeigt ist 1/2.

5. Die erwartete Summe der Augenzahl von zwei (nicht notwendiger Weise unabhängigen) Würfel beträgt 7.

Meiner Meinung nach ist 1,2,3, 4 falsch und 5 richtig. Stimmt das ?

 
 
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Ja, Aussage 1 ist falsch.

Nein, Aussage 2 ist richtig. "Var(X)+Var(Y) = Var(X+Y)" bedeutet, dass X und Y unkorreliert sind. Unkorreliert darf man aber nicht mit "stochastisch unabhängig" verwechselt. Aus stochastischer Unabhängigheit folgt Unkorreliertheit, aber nicht umgekehrt.
Gegenbeispiel: Fairer Würfel. Elementarergnisse also {1,2,3,4,5,6}.
Definiere X durch : X(1)=X(2)=X(3)=X(4)=1, X(5)=X(6)=-2.
Definiere Y durch : Y(1)=Y(2)=1, Y(3)=Y(4)=-1, Y(5)=Y(6)=0.
Dann ist Var(X)=2, Var(Y)=2/3, Var(X+Y)=8/3 = Var(X)+Var(Y).
Die Zufallvariablen sind aber anhängig, denn
P(X=1) P(Y=0) = 2/9,
P(X=1 und Y=0) = 0

Bei Aussage 3 weiß ich nicht, was X? und p? sein soll. "?" ist wohl ein missinterpretiertes Zeigen. Eine Hochgestellte 2?
Bei Aussage 4 verstehe ich den 2. Satz nicht. Der ist grammatisch falsch.

Ja, Aussage 5 ist richtig, sofern beide Würfel fair sind und die Augenzahlen 1,2,3,4,5,6 haben.
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Zu 4: gegeben = unter der Bedingung, dass... Grammatikalisch (grammatisch gibt es nicht) vollkommen richtig.   ─   cauchy 11.11.2023 um 21:03
Vielen Dank!! ist 4 richtig ?   ─   elias fusch 14.11.2023 um 11:54
Also, das Wort "grammatisch" gibt es - mittlerweile - sehr wohl.

Und da da nun mal "gegeben" steht und nicht "unter der Bedingung", so ist der Satz grammatikalisch falsch.

Ok, aber wir wissen ja, wie's gemeint ist: Hier geht es um bedingte Wahrscheinlichkeiten.

Also ist zu prüfen, ob \(\displaystyle \frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{1}{2} \), wobei
A definiert ist durch: Eine Münze zeigt Kopf
B definiert ist durch: Die andere Münze zeigt Kopf.
Man kann kann man sich nun leicht ausrechnen, dass \(P(A \cap B)=1/4\).

Schwieriger ist die Frage, wie groß P(B) ist ?

Das Ergebnis "Kopf-Kopf" ist schonmal in B. Zwar ist unklar, was hier "die andere Münze" ist, die aber zeigt im jedem Fall "Kopf".
Das Ergebnis "Kopf-Zahl" ist nicht in B.
Das Ergebnis "Zahl-Kopf" ist nicht in B.
Das Ergebnis "Zahl-Zahl" ist nicht in B. Zwar ist unklar, was hier "die andere Münze" ist, die aber zeigt in jedem Fall "Zahl".

Also: \(P(B)=1/4\).

Daraus folgt: Aussage 4 ist falsch.
   ─   m.simon.539 14.11.2023 um 18:34
Stimmt, grammatisch gibt es, hat aber eine andere Bedeutung als grammatikalisch. Und nur weil du den Satz nicht richtig lesen kannst, ist er deswegen nicht grammatikalisch falsch. ;) Aber lassen wir das, das ist nämlich nicht mathematisch oder vielleicht mathematikalisch...?

4. kann man sich auch ohne Rechnen überlegen: wenn bereits gegeben ist, dass die andere Münze Kopf zeigt, ist sofort klar, dass (mind.) eine Münze Kopf zeigt. Die Wahrscheinlichkeit ist also 1.   ─   cauchy 14.11.2023 um 19:58

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