Alle Punkte innerhalb des Quadrates ABCD angeben

Erste Frage Aufrufe: 198     Aktiv: 11.06.2022 um 14:07

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Die Punkte A(2|-4|4), B(5|1|8), C(8|-4|12) und D(5|-9|8) sind gegeben. Sie ergeben ein Quadrat und ich soll alle Punkte die innerhalb des Quadrats liegen angeben. Als Hinweis ist geschrieben, dass ich eine Ebenengleichung benutzen soll und die Parameter einschränken soll. Die Ebenengleichung wäre hier wohl E:x= [2|-4|4] + k * [3|5|4] + t * [6|0|8] 
Mir ist allerdings nicht bewusst wie ich jetzt weiter vorgehen kann, um alle Punkte innherhalb des Quadrats zu bestimmen.
Danke schon mal im voraus :D
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Mache dir einmal klar, welche Bedeutung die Parameter der Ebenengleichung haben und wo man in der Ebene landet, wenn man bestimmte Werte wählt. Dazu kann man sich schön eine zweidimensionale Skizze machen. Wo landest du zum Beispiel bei $k=1$ und $t=0$ oder bei $k=2$ und $t=1$ usw. Was passiert, wenn du nur $k$ bzw. nur $t$ änderst? Wo landest du dann? Wie sieht es mit negativen Werten aus? Mache dir all das mal klar, dadurch kannst du jede Menge lernen. Vielleicht kommst du dann drauf, wie man die Parameter einschränken muss.
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Der Parameter sagt aus wie oft ich den jeweiligen Vektor entlanggehe. Würde ich beispielsweise für k=1 und t=0 einsetzen lande ich beim Eckpunkt des Quadrats B. für k=0 und t=0 logischerweise beim Punkt A. wenn ich für k=0 und t=1 einsetze lande ich bei C und bei k=-1 und t=1 bei D. Ist mit Einschränkung der Parameter gemeint, dass ich -1 bis 1 einsetzen muss um an die jeweiligen Eckpunkte zu kommen und damit alles zwischen diesen Werten die Punkte innerhalb des Quadrats sind oder bin ich einen komplett falschen Weg gegangen?   ─   usera92f9a 09.06.2022 um 23:07

Nein, das geht genau in die richtige Richtung. Die Einschränkung hängt natürlich damit zusammen, wie man die Richtungsvektoren und den Stützvektor der Ebene wählt.   ─   cauchy 09.06.2022 um 23:25

Okay ich hab ein bisschen herum probiert und man kann sagen, dass der Parameter k und t zusammen zwischen 0 und 1 liegen muss, damit der Punkt innerhalb des Quadrats liegt. (Mit der Ausnahme, dass wenn k=1 ist t nur noch 0 sein kann.) Und jetzt soll ich alle Punkte angeben, aber sind das nicht viel zu viele, wenn man bedenkt dass ich auch Dezimal wie beispielsweise k=-0,225 und t=0,675 einsetzen könnte. Oder ist damit bloß gemeint, dass ich die Bedingungen die für die Parameter gelten müssen angeben soll?   ─   usera92f9a 10.06.2022 um 13:09

Wie lautet denn die genaue Formulierung in der Aufgabe? Davon hängt die korrekte Antwort ab. Und natürlich davon, was Du unter "zusammen" verstehst, das wirst Du bei der Antwort auch präzisieren müssen.   ─   mikn 10.06.2022 um 14:02

Die Konkrete Aufgabe lautet: "Geben sie alle Punkte an, die innerhalb des Quadrates ABCD liegen. Hinweis: Benutzen sie eine Ebenengleichung und schränken sie sie Parameter ein." Ich meinte, dass wenn man k und t addiert, der Wert zwischen 0 und 1 liegen muss, damit der Punkt innerhalb des Quadrates liegt.   ─   usera92f9a 10.06.2022 um 14:17

Ich verstehe es so, dass Du sie als Menge angeben sollst, also: $\{... | ...\}$.   ─   mikn 10.06.2022 um 14:24

In der Menge stehen dann alle möglichen Punkte innerhalb des Quadrates richtig? und nicht die Parameter die ich dafür einschränken muss.   ─   usera92f9a 10.06.2022 um 14:33

Das sind unendlich viele, willst Du die alle darein schreiben? Wenn Du die Schreibweise nicht kennst, schau unter https://de.wikipedia.org/wiki/Menge_(Mathematik)#Begriff_und_Notation_von_Mengen nach, dort such den Begriff Grundfarbe.   ─   mikn 10.06.2022 um 14:45

mir ist noch nicht klar geworden, wie ich die jetzt in der Menge angeben kann... Mit dem kartesischem Produkt hat das nichts zu tun oder?   ─   usera92f9a 10.06.2022 um 17:25

Hast Du die von mir erwähnte Schreibweise verstanden?   ─   mikn 10.06.2022 um 17:28

im groben und ganzen schon, allerdings hab ich ja quasi die Eckpunkte des Quadrates gegeben und muss jetzt eine Menge angeben in der alle Punkte innerhalb des Quadrates stehen. Welche Vektoren nehm ich denn da?   ─   usera92f9a 10.06.2022 um 17:33

"im groben und ganzen" lese ich als "nein". Die Syntax ist $\{ \text{Objektbezeichnung} | \text{Bedingung an Objekt, die gelten muss} \}$. Die Bedingung hast Du hergeleitet, nun schreib es sauber auf.
Wie hast Du denn die Bedingung vorhin hergeleitet ohne die Vektoren zu kennen?
  ─   mikn 10.06.2022 um 17:52

Genau. Die Bedingung ist, dass k und t addiert zwischen 0 und 1 liegen muss. (Ausnahme: wenn k=1 ist muss t=0 sein. Das ist soweit richtig oder hab ich da was übersehen?   ─   usera92f9a 10.06.2022 um 18:02

Die Bedingung hab ich festgestellt indem ich das Quadrat in ein dreidimensionales koordinatensystem gezeichnet habe und überprüft habe, bei welchem Punkt ich landen würde, wenn ich die entsprechenden Zahlen als Parameter einsetze. Bin mir allerdings nicht sicher, dass ich nichts bei der Bedingung vergessen habe. Gibt es denn einen Weg die Bedingung zu prüfen?   ─   usera92f9a 10.06.2022 um 18:29

Du musst die obige Mengenschreibweise unbedingt verstehen, die kommt sehr oft vor.
Also: $\{ x | \text{Bedingung an }x \}$. Wann ist also ein Vektor $x$ im Quadrat? Es muss math. eine Aussage sein, keine Aussageform (evtl. den Unterschied nachschlagen).
  ─   mikn 10.06.2022 um 20:18

Die Mengenschreibweise ist hier völlig unnötig, zumal in der Aufgabe bereits steht, dass man eine Ebenengleichung mit Einschränkung an die Parameter angeben soll. Die Lösungsmenge dieser Ebenengleichung beschreibt dann die Menge aller Punkte. Man kann also die Menge der Punkte angeben als eine Ebene $E:\vec{x}= \dots, $ wobei $k\in\dots, l\in\dots$

Deine Bedingung stimmt aber nicht, denn wenn die Summe der Parameter zwischen 0 und 1 (beides eingeschlossen) sind, hast du nur ein Dreieck. ;)
  ─   cauchy 10.06.2022 um 20:27

Da steht "geben Sie .... an" und "benutzen Sie...:". Da steht nicht, dass die Bedingung alleine reicht. Man kann aber (dem würde ich nicht widersprechen) vermuten, aufgrund der Formulierung, dass ein Amateur (Lehrer, Ingenieur,...) die Aufgabe formuliert hat und man daher als Antwort herumschwurbeln darf und es wird akzeptiert. Aber einfach so "völlig unnötig", nein. Da steht übrigens nicht man soll die Ebenengleichung "angeben", sondern "benutzen". Das ist nicht dasselbe.   ─   mikn 10.06.2022 um 20:32

Hier handelt es sich aber vermutlich eher um Schulmathematik und nicht um höhere Mathematik. Da ist die Schreibweise $E:\vec{x}=...$ gebräuchlich, auch wenn man streng genommen $E=\{\dots | \dots \}$ schreiben müsste, was aber auch niemand in der Schule erklärt bekommt. Daher das "völlig unnötig".

Man muss halt abwägen, ob es sinnvoll ist, Schüler zusätzlich mit der korrekten Schreibweise zu verwirren, was dann möglicherweise in der Schule nur zu Problemen führt, weil Lehrer das nicht anerkennen oder ob man mathematisch gesehen etwas ungenauer ist, dafür aber auch schülergerecht (wobei ich diese Herumschwurbelei eher nicht als schülergerecht bezeichnen würde).
  ─   cauchy 10.06.2022 um 20:44

Wieso ist es nur ein Dreieck? Wenn k=-1 und t=1 ist würde ich ja beim Punkt D landen. Bei k=-0,5 und t=0,5 beispielsweise würde ich auf einem Punkt der Strecke AD landen. Wenn ich das selbe mit positiven Werten mache (also z.B. k=0,5 und t=0,5 lande ich auf einem Punkt der Strecke BC. Je nachdem wie hoch oder tief ich mit den Werten gehe ist doch die ganze Fläche des Quadrates abgedeckt oder nicht? Wie müsste ich denn anders vorgehen?   ─   usera92f9a 10.06.2022 um 20:45

Ach, hatte nicht dran gedacht, dass du die Richtungsvektoren ungünstig gewählt hast. Es passt trotzdem nicht. Wo landest du mit $k=-1$ und $t=2$? Es gilt ja dann $k+t=1$, was nach deiner Einschränkung erlaubt ist. Oder $k=0{,}5$ und $t=-0{,}5$, Summe ist 0 und damit auch im Bereich.

Es geht um einiges einfacher, wenn man die Richtungsvektoren geschickt wählt.
  ─   cauchy 10.06.2022 um 20:54

Achso jetzt verstehe ich auch was du mit dem Dreieck gemeint hast. Ich hab die Ebenengleiching jetzt durch die Punkte C, B und D bestimmt und die lautet jetzt: E:x= [8|-4|12] + k * [-3|-5|-4] + t * [-3|5|-4] Jetzt kann man sagen, dass k und t addiert ein Wert von 0 bis 1 ergeben muss, da all diese Werte innerhalb des Quadrates liegen. Ich muss diese Bedingung nur noch sauber aufschreiben richtig?   ─   usera92f9a 10.06.2022 um 21:19

Ne warte der Parameter k kann von 0 bis 1 eingesetzt werden so wie auch t den Wert von 0 bis 1 haben kann. Das ist die Bedingung dafür, dass jeder Punkt innerhalb des Quadrates liegt. Muss ich das jetzt aber als Menge {...|...} angeben?   ─   usera92f9a 10.06.2022 um 21:47

Genau so ist es richtig. Also wesentlich einfacher die Bedingung. Für den ersten Fall hätten man zusätzlich noch $t\geq 0 $ fordern müssen, dann hätte das auch gepasst. Ob du das "musst", weiß ich nicht. Vermutlich eher nicht. Aber mathematisch ist das natürlich korrekt so und schöner. Schau mal bei Wikipedia unter Ebenengleichung.   ─   cauchy 10.06.2022 um 21:55

Die Zusammenfassung der Diskussion von cauchy und mir ist (aus meiner Sicht): Das hängt davon ab, was von Dir erwartet wird. Bist Du Schüler oder Student? Welches Fach? Es ist für uns hilfreich, das zu wissen (daher wird es bei der Registrierung gefragt).   ─   mikn 10.06.2022 um 21:57

Ich bin Schüler in der Oberstufe. Das ist für Mathematik. Die korrekte Schreibweise wäre ja auch k 0 ≤ 1 und t 0 ≤ 1. Bei der Menge bin ich mir allerdings nicht sicher wie man das formulieren müsste. Vielleicht für k und t M={0...1}   ─   usera92f9a 10.06.2022 um 22:22

Das ist sicher keine korrekte Schreibweise. Wie lautet denn Deine vollständige Antwort auf die Frage "wann ist x im Quadrat"?   ─   mikn 10.06.2022 um 22:26

x liegt im Quadrat wenn k mindestens 0 und höchstens 1 ist und t mindestens 0 und höchstens 1 ist   ─   usera92f9a 10.06.2022 um 22:47

Da fehlt aber noch etwas.   ─   cauchy 10.06.2022 um 22:57

Hilfe: was für'n k, was für'n k? Es muss jede Größe definiert werden, mit "für alle..." oder "es gibt ein....", das macht aus einer Aussageform eine Aussage (Bedingung9.   ─   mikn 10.06.2022 um 23:00

für alle x werte gilt: k mindestens 0 und höchstens 1 und t mindestens 0 und höchstens 1. Ist das gemeint?   ─   usera92f9a 10.06.2022 um 23:15

oder für alle k und alle t Werte gilt: mindestens 0 und höchstens 1, damit x im Quadrat liegt.   ─   usera92f9a 10.06.2022 um 23:27

Es sei $k=1$ und $t=0{,}5$. Dann liegt der Punkt $P(1|2|3)$ im Quadrat $ABCD$. Ich hoffe, du erkennst das Problem. Es reicht nicht aus, nur etwas zu den Parametern zu sagen. Du musst das komplett formulieren, nicht nur die Einschränkung der Parameter angeben. Und für "mindestens" und "höchstens" gibt es ebenso mathematische Zeichen.   ─   cauchy 10.06.2022 um 23:30

Vorweg: Ich finde es gut, dass Du versuchst eine saubere Formulierung zu finden, auch wenn das vermutlich in der Lösung nicht gefragt ist.
Auf die Frage "wann liegt x im Quadrat?" kann die Antwort natürlich nicht mit "für alle x" anfangen. Wobei das vielleicht an meinem Tipp gelegen hat: "Jede Größe, AUSGENOMMEN x, muss...." meinte ich.
Du hast oben schon gut angefangen "x liegt im Quadrat wenn....". Für k und t kannst Du zulässige Intervalle angeben. Aber es sind ja nicht irgendwelche k und t, das fehlt eben noch. Du hast die Ebene mit Stützpunkt C aufgespannt und....
  ─   mikn 10.06.2022 um 23:44

Der Punkt liegt damit genau in der Mitte der Strecke AD. Mir ist nur nicht bewusst was noch zur kompletten formulierung gehört. (≤ und ≥ sind mir klar. Ich hätte die kopieren müssen, da die nicht in meiner Tastertur exestieren)   ─   usera92f9a 10.06.2022 um 23:47

Dann mal so: Ist es völlig egal, welche Vektoren man nimmt? Sollten die nicht in der Bedingung vorkommen? Und zu t und k hab ich eben den Tipp für einfache Schreibweise gegeben (geht auf jeder Tastatur).   ─   mikn 10.06.2022 um 23:49

Okay ich scheine wirklich verwirrt zu sein. Ich hab doch meine Ebene und gebe dort die Parameter an. Daraus ergibt sich dann ein Punkt. Aber Vektoren benutze ich doch gar nicht um an den Punkt im Quadrat zu kommen, abgesehen von den Vektoren in der Ebene.   ─   usera92f9a 10.06.2022 um 23:57

DU hast die Ebene, ja, aber in der Bedingung willst Du die nicht erwähnen?
Stell Dir vor, jemand, der die Aufgabe nie gesehen hat, aber vier Punkte A, B, C, D, die ein Quadrat bilden, hat, gibt Dir einen Punkt x (oder den Ortsvektor dazu) und fragt Dich wie sehe ich, ob der im Quadrat liegt? Was sagst Du dem? Formuliere es in zwei Schritten: 1. Punkt muss in der Ebene liegen, 2. zusätzlich im Quadrat.
  ─   mikn 11.06.2022 um 00:02

Man muss vom Vektor C ausgehen, damit der Punkt im Quadrat liegt. Denn wenn man den Vektor C nimmt und jedes beliebige k und t, welches die Bedingung erfüllt einsetzt liegt der Punkt in der Ebene und somit auch im Quadrat.   ─   usera92f9a 11.06.2022 um 00:11

Das willst Du jemandem sagen, diese drei Zeilen, und nur damit soll er es dann kapieren? Lies es Dir nochmal durch und stell Dir vor, auf Deine Frage ganz oben hätte einer von uns das, diese drei Zeilen, geantwortet. Dann wäre Dir alles klar gewesen?
Ich hab Dir einen Tipp gegeben.
  ─   mikn 11.06.2022 um 00:18

x liegt im Quadrat, wenn der Vektor C [8|-4|12] genommen wird und k ∈ [0;1] und t ∈ [0;1].   ─   usera92f9a 11.06.2022 um 00:59

Wie komme ich denn damit an die Punkte? Überlege dir wirklich mal, ob diese Informationen ausreichen, um damit alle Punkte des Quadrates zu beschreiben. Wirklich nur diese Informationen, die du da geschrieben hast.   ─   cauchy 11.06.2022 um 01:28

x liegt im Quadrat, wenn die Ebene E:×= [8|-4|12] + k * [-3|-5|-4] + t * [-3|5|-4] genutzt wird und k ∈ [0;1] und t € [0;1]   ─   usera92f9a 11.06.2022 um 09:59

Aha, das ist gut, kann man akzeptieren. Noch klarer wäre: ... wenn x=[8|.... mit k... und t... .
Sicherheitshalber: die Zahlen(Vektoren) habe ich nicht nachgerechnet, hab mich drauf verlassen, dass cauchy das gemacht hat.
  ─   mikn 11.06.2022 um 12:04

Also du meinst, dass die Formulierung so noch klarer wäre: x liegt im Quadrat, wenn die Ebene E:x= [8|-4|12] + k * [-3|-5|-4] + t * [-3|5|-4] mit k ∈ [0;1] und t ∈ [0;1]   ─   usera92f9a 11.06.2022 um 13:00

Nein, ich hab's Dir doch hingeschrieben, es ist nur gekürzt aus Deiner Version.   ─   mikn 11.06.2022 um 13:03

Ich versteh nicht ganz wie die ausgeschriebene Version aussieht. So dass ich die Integrale für k und t mit in die Ebene schreibe? Dann wäre das: x liegt im Quadrat, wenn E:x= [8|-4|12] + k ∈ [0;1] * [-3|-5|-4] + t ∈ [0;1] * [-3|5|-4]   ─   usera92f9a 11.06.2022 um 13:09

Sorry, aber wenn ich Dir's so hinschreibe, dass Du's nur abschreiben musst (siehe "noch klarer wäre;,,,") und die Zahlen ausfüllen und das klappt nicht, dann weiß ich auch nicht, was ich noch tun kann.
Ich hatte geschrieben: "...wenn x=[8" und Du machst beim Abschreiben ("also du meinst...") "wenn die Ebene x:=[8" daraus. Und jetzt kommst Du mit ganz abwegigen Varianten. Lies es Dir doch mal laut vor.
  ─   mikn 11.06.2022 um 13:31

x liegt im Quadrat, wenn x= [8|-4|12] + k * [-3|-5|-4] + t * [-3|5|-4] mit k ∈ [0;1] und t ∈ [0;1]   ─   usera92f9a 11.06.2022 um 13:43

Puh, endlich. Es hilft auch immer die Zeilen mal laut vorzulesen. Wenn es komisch klingt, stimmt es nicht. Und mach Dir klar, warum das genau die Bedingung ist und warum sie so formuliert wird.   ─   mikn 11.06.2022 um 13:49

tut mir leid, ich hab mich wohl etwas dumm angestellt... Aber vielen vielen Dank für eure Hilfe und Geduld!!   ─   usera92f9a 11.06.2022 um 13:51

Schon okay, Du hast ja gut durchgehalten und es hat ein erfolgreiches Ende genommen.   ─   mikn 11.06.2022 um 13:54

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@mikn @cauchy Respekt für die Geduld und Ruhe und auch Respekt an den Frager das du es verstehen wolltest was mikn dir sagen wollte und am Ball geblieben bist. Ein Dialog den ich mit jedem Kommentar gern verfolgt hab. Sieht man nicht oft hier im Forum.   ─   maqu 11.06.2022 um 14:06

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