Das ähnelt dem Prinzip der Intervallschachtelung zur Berechnung von Wurzeln. Dass man irgendwann zu dem Fall kommt, wo $c_n=1$ gilt, sollte relativ klar sein. Das kann man sich leicht überlegen. Dann kann man die erste Komponente als untere, die zweite Komponente als obere Grenze des Intervalls betrachten. Je nach Fall wird dann entweder die obere oder untere Grenze so gewählt, dass das Intervall halbiert wird. Man kann die Bedingung auch schreiben als $\sqrt{y}>\frac{a_n+b_n}{2}$. Damit dürfte dann auch klar sein, warum sich obere und untere Grenze dann stets dem Wert $\sqrt{y}$ annähern.

Wie lauten denn die ersten Folgenglieder? Fang mit Beispielen für y an. Das ist normalerweise eine gute Basis für eine Vermutung.