Hallo,

wenn eine Relation bestimmte Eigenschaften erfüllt, ist sie eine sogenannte Äquivalenzrelation. Das bedeutet, sie drückt eine Art von Gleichheit aus. Abhängig von dieser Äquivalenzrelation haben wir dann bestimmte Elemente die äquivalent sind. 
Ein Element befindet sich dann in der Äquivalenzklasse, in der alle Elemente sind die zu dem ersten Äquivalent sind. 

Als Beispiel nehmen wir die Äquivalenzrelation modulo \(m\). Diese bezieht sich auf den Rest beim teilen durch die Zahl \( m \).

Dort sind Zahlen die den selben Rest beim teilen durch \( m \) haben in einer Äquivalenzklasse. 

Sagen wir mal wir teilen durch \( 3 \). Dann gilt

$$ \begin{array}{ccc} 0 \div 3 & = & 0 + \frac 0 3 \\ 1 \div 3 & = &  0 + \frac 1 3 \\ 2 \div 3 & = & 0 + \frac 2 3 \\ 3 \div 3 & = & 1 + \frac 0 3 \\ 4 \div 3 & = & 1 + \frac 1 3 \\ 5 \div 3 & = & 1 + \frac 2 3 \\ 6 \div 3 & = & 2 + \frac 0 3 \\ & \vdots & \end{array} $$

An dem Bruch hinten, sehen wir das wir als Rest \( 0 ,1 \) und \( 2 \) haben können. Danach kommt wieder der Rest \( 0 \) usw.

Wir haben hier also 3 Äquivalenzklassen, nämlich \( \overline{0} , \overline{1} \) und \( \overline{2} \) und sagen es sind diese Zahlen äquivalent, die beim teilen durch \( 3 \) den gleichen Rest haben.

Nun zur Partition. Die Partition von der Menge \( M \) teilt Elemente in Teilmengen von \( M \) auf, sodass jedes Element von \( M \) in genau einer Teilmenge zu finden ist.
Die Äquivalenzrelation ist somit eine Art von Partition, denn sie teilt die Elemente einer Menge den Äquivalenzklassen zu. Jedes Element ist nur in einer Äquivalenzklasse aber jedes Element ist in einer.

Gleichzeitig können wir sagen, das eine Partition eine Art von äquivalenz zuordnet, nämlich die Elemente die in einer Teilmenge gelandet sind können als äquivalent angesehen werden und erfüllen so den Bedingungen einer Äquivalenzrelation.

Grüße Christian