Was muss die Funktion erfüllen um kein Homöomorphismus zu sein?

Aufrufe: 719     Aktiv: 08.03.2021 um 18:38
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Hallo Zusammen 

Ich suche gerade nach einem Beispiel einer Funktion \(f:Y\rightarrow \mathbb{R}, f\subset \mathbb{R}\) so dass f stetig und injektiv ist aber \(f:Y\rightarrow f(Y)\) kein Homöomorphismus ist. Irgendwie sind bei mir alle Funktionen jeweils auch homöomorph. Hätte jemand einen Tipp?
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Wie wäre es mit der Funktion \(f: \mathbb{R}^+\to \mathbb{R}, x \mapsto x^2\)? In Frage kommt auch jede Funktion, für die gilt \(f(0)\not =0\)
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ah ja ich hatte jeweils nur eine Teilmenge von \(\mathbb{R}^+\) genommen vielen dank   ─   karate 08.03.2021 um 17:41
Du kannst zu einem Homorphismus auch einfach eine additive Konstante \(c\not=0\) hinzunehmen   ─   mathejean 08.03.2021 um 17:42
sorry hätte trotzdem nochmals kurz eine Frage. Wenn ich nun aber mein neues g definiere als \(g:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+, x \rightarrow x^2\) dann ist doch diese Funktion trotzdem auch ein Homöomorphismus. Wo mache ich einen denkfehler. Oder ist mit \(g(Y)\) immer noch \(\mathbb{R}\) gemeint und gar nicht \(\mathbb{R}^+\)   ─   karate 08.03.2021 um 18:25
Nein, diese Funktion ist kein Homorphismus. Unter anderem gilt hier \(f(2\cdot 2)=f(4)=4^2=16\not =8=2\cdot2^2=2\cdot f(2)=f(2\cdot 2)\)   ─   mathejean 08.03.2021 um 18:31
sorry das was wir wissen ist, dass die Funktion stetig und injektiv sein muss, zusätzlich muss die Umkehrfunktion auch stetig sein, mehr wissen wir nicht. Wenn ich nun aber g wie gesagt nehme, dann weiss ich dass diese injektiv und stetig ist wie erwünscht. Nun wenn ich aber \(g:Y -> g(Y)\) definiere, so ist doch das die Funktion \(g:\mathbb{R}^+ \rightarrow\mathbb{R}^+, x\rightarrow x^2\) doch diese Funktion ist ja dann bijektiv und die Umkehrfunktion stetig also würde doch diese ein Homöomorphismus sein?

Also die Aufgabe möchte ja nicht dass die "ursprüngliche" Funktion kein Homöomorphismus ist sondern diese, welche aus der alten "geformt" wird \(g:Y -> g(Y)\) sollte kein Homöomorphismus sein

Zusätzlich bin ich verwirrt da du immer von einem Homomorphismus sprichts, wir suchen keinen Homomorphismus das ist nicht das gleiche wie Homöomorphismus.   ─   karate 08.03.2021 um 18:35

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