E-Funktionen: Verhalten für x -> +/- unendlich

Aufrufe: 88     Aktiv: 25.08.2021 um 15:05

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Hallo ihr Lieben,

verzweifelt versuche ich den globalen Verlauf von e-Funktionen zu verstehen, ohne diese in den GTR / WTR einzugeben.
In Erinnerung habe ich, dass sich die e-Funktion in Funktionen, bestehend aus Produkt / Quotient mit e^x stets durchsetzt.

Habe ich jetzt beispielsweise die Funktion f(x)=e^x * x verhält sie sich für x -> +/- unendlich wie e^x
(waagr. Asymptote bei y=0, für x -> - unendlich geht f(x) -> 0; für x -> + unendlich geht f(x) gegen + unendlich).
Die Funktion f(x)= e^x * (-x^2) = f(x)= -e^x * x^2 verhält sich wie -e^x.

Auf dem Bild habe ich eine Reihe von Möglichkeiten aufgelistet, die bestätigen, dass sich e^x in diesen Funktionen durchsetzt.
Allerdings trifft dies auf 4 Funktionen nicht zu. 

Wieso verhält sich f(x) = e^(-x) * (-x)  = f(x)= -e^(-x)   nicht wie -e^(-x), sondern wie e^(-x),
f(x)= -e^(-x) *(-x)  = f(x)= e^(-x) * x  nicht wie e^(-x), sondern wie -e^(-x)
f(x)=x*e^(-x) nicht wie e^(-x), sondern wie -e^(-x)
und f(x)=(-x)*e^(-x)  = f(x)= x * -e^(-x)  nicht wie -e^(-x), sondern wie e^(-x)?

Diese Sonderregel scheint nur auf Funktionen mit e^(-x) zuzutreffen.

Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen, hänge schon ewig hier fest!

Liebe Grüße
Fly


gefragt

Schüler, Punkte: 23

 

$e^{-x}$ und $-e^{-x}$ sind beides Nullfolgen für $x \to \infty$. Mit anderen Worten: die "verhalten sich gleich" im Unendlichen. Was meinst du also?   ─   zest 25.08.2021 um 11:15

Der Verlauf in x-Richtung ist gleich, der in y-Richtung jedoch nicht. Darauf bezieht sich meine Frage. Hätte ich besser formulieren sollen.   ─   fly 25.08.2021 um 13:45
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1 Antwort
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Nur ein Beispiel,   $f(x)=-x\cdot e^{-x}$

Wie $-e^{-x}$ verläuft ist bekannt, e-Funktion an der y und der x-Achse  gespiegelt, also von -oo nach 0 verlaufend. 
Jetzt multiplizierst du noch mit x Werten. Abgesehen von einer neuen "Form", geht es dir ja um den Verlauf.
Wenn die x Werte negativ sind, wird aus dem ursprünglichen "-oo" nun ein "+oo", d.h. die Kurve kommt von oben. Bei positiven x-Werten dominiert die e-Fkt., d h. Asymptote Null bleibt.
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selbstständig, Punkte: 9.81K

 

Ist dann quasi der globale Verlauf in y-Richtung bei "e^(-x) * x -Funktionen" umgekehrt?
Gibt es hierfür eine Erklärung?
  ─   fly 25.08.2021 um 13:42

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$e^{-x} $ verläuft von links oben nach rechts gegen 0, mal x führt für negative x, gegen - oo, also links unten durch (0/0) und rechts dominiert wieder die e Funktion, also Asymptote Null
Also, du gehst am besten immer vom Verlauf der Variante der e-Funktion aus, mit sämtlichen Vorzeichen und überlegst dann, wo ein weiteres negatives Vorzeichen auftaucht und was das mit den Funktionswerten macht.
  ─   monimust 25.08.2021 um 13:57

"e^(-x) verläuft von links oben nach rechts gegen 0, mal x führt für negative x, gegen - oo, also links unten durch (0/0) und rechts dominiert wieder die e Funktion"
Das dachte ich auch so. Grafikprogramme zeigen dies jedoch anders für die 4 Funktionen, die ich aufgezählt habe (alle mit e^(-x) ).
-x * e^-x verläuft von links oben durch (0/0) und rechts gegen 0. Logisch wäre es ja, wenn diese Funktion von links unten durch (0/0) gehen würde und dann rechts gegen 0.
Hast du hierfür eine Erklärung?
  ─   fly 25.08.2021 um 14:23

Da der Verlauf in y-Richtung für e^-x * x^ungerade genau umgekehrt ist, als man es eigentlich erwarten würde, dachte ich, dass das evtl etwas mit dem ^-x in der e-Funktion zu tun haben muss.   ─   fly 25.08.2021 um 14:24

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So langsam komme ich bei deiner Argumentation durcheinander.^^
In der Antwort hatte ich $-xe^{-x}$ erklärt, jetzt stellst du es wieder in Frage?
Es könnte aber sein, dass du " negative x-werte" nicht unterscheidest von "-x", überprüfe das mal.
Bei "-x" ist ein Minus eingebaut, das ich gleich mit in den Verlauf der Grundfunktion übernehmen würde, also $-e^{-x}$ betrachten. Es gibt dann dennoch positive und negative x-Werte.
Bei $xe^{-x}$ betrachtest du den Verlauf von $e^{-x}$ und unterscheidet auch hier zwischen x-Werten links und rechts von der y-Achse.
  ─   monimust 25.08.2021 um 14:44

oh ok, "negative x-Werte" hatte ich als "-x" betrachtet, vielen Dank!! :)   ─   fly 25.08.2021 um 15:05

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