Folgenkompaktheit der positiven reellen Zahlen

Aufrufe: 112     Aktiv: 12.09.2022 um 21:11

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Sind die positiven reellen Zahlen mit der 0 eingeschlossen folgenkompakt?
Das Intervall ist auf jeden Fall abgeschlossen, aber ist es auch beschränkt? Falls ja, wie kann man entscheiden bzw. beweisen, dass ein Intervall dieser Form I = [a, unendlich) beschränkt ist?

EDIT vom 12.09.2022 um 20:19:

Hier der Abschnitt über stetige Inverse.

Hier der Abschnitt über die n-te Wurzelfunktion.
gefragt

Student, Punkte: 20

 
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Die Frage stellt sich nur, wenn man den Begriff "beschränkt" nicht wirklich verstanden hat. Dabei ist das ja ein sehr anschaulicher Begriff. Schau nochmal in die Def. von "beschränkt" und in die Beispiele aus der Lehrveranstaltung dazu. Dann wird die Entscheidung, ob Deine Menge beschränkt ist oder nicht sofort klar. Dann probier den Beweis dazu (Tipp: indirekt, Aussagenlogik beachten). Wenn's Probleme gibt, lade Deinen Beweisversuch hoch, dann schauen wir weiter.
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Lehrer/Professor, Punkte: 27.75K

 

Also laut Definition ist das Intervall natürlich nur nach unten hin beschränkt. Das bedeutet dann eigentlich, dass die positiven reellen Zahlen nicht folgenkompakt sind.
Was ich eigentlich durch die Folgenkompaktheit herausfinden wollte, ist folgendes:
Eine Funktion, die stetig, injektiv und auf einer folgenkompakten Menge definiert ist, hat eine stetige Inverse. In unserem Skript haben wir dazu das Beispiel der n-ten Wurzel genommen, die die Umkehrfunktion der Funktion f(x)=x^n ist und deshalb stetig ist. Beide x^n und x^(1/n) sind nur auf den positiven reellen Zahlen definiert, das heißt, laut meinem Skript müsste R/+/0 folgenkompakt sein.
Folgt Folgenkompaktheit in den reellen Zahlen schon allein durch Abgeschlossenheit?
  ─   emiliahlg 12.09.2022 um 15:10

Der Satz aus der Vorlesung ist, wie du merkst, eben nicht auf R_+ anwendbar, weil das eben nicht folgenkompakt ist. Nur auf jedem beschränkten Teilintervall von R_+. Da muss also noch zusätzlich irgendwas gesagt worden sein. Rückschließen, dass R_+ folgenkompakt ist, geht jedenfalls nicht. Die meisten math. Sätze sind wenn-dann-Folgerungen, keine Äquivalenzen. So auch dieser Satz hier.   ─   mikn 12.09.2022 um 16:33

Dann würde ich mal behaupten, dass da ein Fehler in meinem Skript ist, denn mein Professor nimmt die n-te Wurzelfunktion als Beispiel für eine stetige Inverse der Funktion f(x)=x^n mit der Begründung, dass die Umkehrfunktion der Wurzelfunktion stetig ist. Er nimmt als Definitions- und Wertemenge die gesamten positiven reellen Zahlen und keine Teilmenge davon.
Dann ist auf jeden Fall der Beweis, dass f(x)=x^(1/n) stetig ist, über die stetige Inverse nicht möglich oder? Denn wenn die positiven reellen Zahlen nicht folgenkompakt sind, kann der Satz darauf ja gar nicht angewandt werden.
Ich kann auch mal ein Foto von meinem Skript hochladen.
  ─   emiliahlg 12.09.2022 um 19:45

Ja, lade mal die Seite aus dem Skript hoch, dann schaue ich mir das genauer an.   ─   mikn 12.09.2022 um 19:55

Die Seiten im Skript sind in der Frage jetzt drin. Aber ich bin im Skript über einen weiteren Satz gestolpert, der vielleicht bei dem Beweis der n-ten Wurzel eher gemeint sein könnte. Jede stetige, monotone Funktion auf einem Intervall hat eine stetige, monotone Inverse. Das trifft ja auch auf x^(1/n) und x^n zu, deshalb hat mein Prof vielleicht den Beweis gemeint und sich nur nicht ganz genau ausgedrückt, denn ich glaube, dass der Beweis mit diesem Satz dann richtig wäre oder?   ─   emiliahlg 12.09.2022 um 20:21

Genau das wollte ich gerade schreiben. Im Skript nimmt der Prof keinen Bezug auf Satz 8.5 (gut so, denn der ist ja nicht anwendbar, wie wir schon festgestellt haben). Dein neu gefundener Satz passt aber gut, denn dort ist "Intervall" vorausgesetzt, was auch unbeschränkt sein darf. Dafür kommt Monotonie hinzu, aber die ist ja bei $x^n$ auf $R_+$ erfüllt.
Bei math. Sätzen gilt oft so eine Art Erhaltungssatz: Wenn man eine Anforderung lockert (kompaktes Intervall durch Intervall ersetzen), muss man eine andere verschärfen (Monotonie hinzunehmen), damit die Aussage (Umkehrfunktion stetig) Bestand hat.
  ─   mikn 12.09.2022 um 20:59

Okay, vielen Dank :) Jetzt wurde endliche diese Verwirrung beseitigt und ich versteh jetzt wie alles gemeint ist :)) Ich hab mich eigentlich nur selbst verwirrt, weil ich sicher davon ausgegangen bin, dass mein Prof Satz 8.5 gemeint hat... Also vielen lieben Dank, hat mir sehr geholfen.   ─   emiliahlg 12.09.2022 um 21:11

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