wahrscheinlich denkst du viel zu kompliziert dabei. einfachste möglichkeit ist aber wahrscheinlich f(x)=h(x) und g(x)=x

also nur ausnutzen, dass x abgeleitet 1 ist 

Vielleicht weißt du ja, das man so eine Zerlegung gerne beim Integrieren ausnutzt, um leicht an eine Stammfunktion zu kommen. Integration durch Substitution nennt sich das Ganze. Wenn dich das vielleicht mehr interessiert, dazu gibt es massig viel auf Youtube usw.

Okay nun zur Aufgabe: Sagen wir du willst sowas hier lösen: \[ \int -\frac{16x}{(4x^2+2)^3} dx\]

Dann ist die Vorgehensweise hier bei Brüchen (oder komplizierter ausgedrückt: rationale Funktionen), dass man nach der Funktion im Nenner nachschaut, ob ihre Ableitung im Zähler steht. Hier sieht es gut aus, wenn wir sagen: \( g(x)=4x^2+2 \) , weil \(g'(x)= 8x=\frac{1}{2}16x \Rightarrow 2g'(x) =16x \) ist, was tatsächlich im Zähler steht. ^^ Leider steht unten im Nenner g(x) hoch 3, aber wir haben zumindest ein bisschen vereinfacht: \[\int -\frac{16x}{(4x^2+2)^3} dx = \int -\frac{2g'(x)}{(g(x))^3} dx \] 

Um in deiner Form anzukommen, wie sie in der Aufgabe verlangt war, müssen wir nur noch \( f(x)=-\frac{2}{x^3} \) setzen, weil sich dann ergibt:  \[-\frac{2g'(x)}{(g(x))^3} = g'(x) \cdot f(g(x))\]

und was noch besser ist, in unserem Integral: \[\int -\frac{2g'(x)}{(g(x))^3} dx = \int g'(x) \cdot f(g(x)) dx = \int h(x) dx\]

Was sehr leicht zu Integrieren ist, wenn man sich an die Kettenregel beim Ableiten zurück erinnert und sie einfach rückwärts macht: \[H(x) = \int h(x) dx = \int g'(x) \cdot f(g(x)) dx = F(g(x)) + C\]

Zur Kontrolle kann man dieses \( H(x) \) auch wieder ableiten und man kommt tatsächlich auf das, was untern Integral steht. Problem ist, dass wir noch nicht \( F(x) \) haben, um \( g(x) \) darin einzusetzen. Wir brauchen:\[F(x) = \int f(x) dx = \int -\frac{2}{x^3} dx = \frac{1}{x^2} + C \\ \Rightarrow F(g(x)) = \frac{1}{(g(x))^2} + C \\ \Rightarrow  H(x) = F(g(x)) + C =  \frac{1}{(g(x))^2} + C =  \frac{1}{(4x^2+2)^2} + C\]

Womit wir tatsächlich eine Lösung zu unserem schwierigen Integral vorhin gefunden haben^^: \[\int -\frac{16x}{(4x^2+2)^3} dx =  \frac{1}{(4x^2+2)^2} + C\]

Ergebnis der Aufgabe: \[f(x) = -\frac{2}{x^3} \\ g(x) = 4x^2+2 \\ F(x) = \frac{1}{x^2} + C\]