Ich bezeichne die Spaltenvektoren der Matrix \( A \) mal mit \( a_1, \dots, a_n \). Dann gilt ja (per Definition) \( rg(A)=dim_K \ span(a_1, \dots, a_n) \).

Wenn nun (a) gilt, dann kann die Gleichung

\( \sum_{i=1}^n \lambda_i a_i = A (\lambda_1, \dots, \lambda_n)^T = 0 \)

nach Voraussetzung keine andere Lösung besitzen als die triviale Lösung \( \lambda_i = 0 \) für \( i=1, \dots, n\). Das bedeutet aber gerade, dass die \( a_i \) linear unabhängig sein müssen. Und somit ist \( rg(A) = dim_K \ span(a_1, \dots, a_n) = n \).

Wenn andererseits (b) gilt, dann müssen die Spaltenvektoren linear unabhängig sein. Angenommen es gilt \( Ax = b \) und \( Ay=b \) für ein \(b \in K^m \) und \( x=(x_1, \dots, x_n)^T, y=(y_1, \dots, y_n)^T \in K^n \). Dann folgt daraus

\( \sum_{i=1}^n (x_i-y_i) a_i = \sum_{i=1}^n x_ia_i - \sum_{i=1}^n y_ia_i = Ax-Ay = 0 \)

Wegen der linearen Unabhängigkeit muss dann aber \( x_i - y_i = 0 \) für \( i =1, \dots, n \) sein, also \( x=y \).

Ich hoffe, das war soweit verständlich.