Stetigkeit g(x) = f(x) für xeQ -> auch für xeR

Erste Frage Aufrufe: 67     Aktiv: 15.12.2021 um 18:18

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Hallo ihr Lieben,
Ich habe hier folgende Aufgabe zur Stetigkeit:
$f,g:R \rightarrow R$ sind stetige Funktionen mit $f(x)=g(x)$ für alle $x \in Q$ und ich soll zeigen, dass das dann auch für $x \in R$ gilt. Ich habe diese Aufgabe bereits in verschiedenen Übungsbüchern und diversen Foren gelesen und immer wieder Argumentation mithilfe "der Dichtheit von Q in R" und dem Folgekriterium gelesen. Beides haben wir in der VL nicht eingeführt, also gehe ich mal davon aus, dass wir das auch nicht verwenden sollen (wir hatten z.B. den Zws und das eps-delta-kriterium).
Ich kann mir anschaulich vorstellen, was mit der Aufgabe gemeint ist.

So viele Ideen habe ich zu dieser Aufgabe leider nich:
Es genügt zz, dass die Aussage für alle irrationalen Zahlen gilt, weil $Q \subset R$. Es, macht auf mich den Anschein, als könnte man da irgendwie mit dem Zwischenwertsatz ran gehen, aber mir fehlt hier leider ein Ansatz.
Ich bin für jede zündende Idee und Hilfe dankbar.
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Punkte: 14

 

Du wirst an dem Argument mit der Dichtheit von Q in R nicht vorbeikommen (auch wenn es vielleicht anders genannt wird). Wie habt Ihr denn die reellen Zahlen definiert?   ─   mikn 15.12.2021 um 17:13

Halt über das Vollständigkeitsaxion, dass jede Chauchyfolge in R konvergiert (wir hatten auch noch was über die Existenz eines sup/inf bei beschränkten Intervallen), ich weiß nicht genau, ob das damit gemeint ist   ─   x32kzpu 15.12.2021 um 17:19

Hm, ok, spontan meine ich, dann wird man im Beweis etwas weiter ausholen müssen, weil man die Dichtheit quasi noch mitbeweisen muss. Vielleicht hat jemand anders eine elegantere Idee.   ─   mikn 15.12.2021 um 17:28

Hmm, also ich würde mir das mit der Dichheit zutrauen zu beweisen, hab mir das mal angeschaut, das geht. Unter der Voraussetzung, dass ich dieses Wissen über die Dichtheit von Q in R mitbringe, wie könnte man an diese Aufgabe rangehen?
  ─   x32kzpu 15.12.2021 um 17:41
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Wenn $Q$ bekannt als dicht in $R$ ist:
Setze $h:=f-g$ (einfacher zu schreiben). Sei nun $x\in R$, da $Q$ dicht in $R$ ist, gibt es eine Folge $q_n\in Q$ mit $q_n\to x$. Da $h$ stetig ist, folgt $h(q_n)\to h(x)$. Es gilt aber $h(q_n)=f(q_n)-g(q_n)=0$ nach Vor., also ist $0=h(x)=f(x)-g(x)$, fertig.

Wenn man das Wort "dicht" vermeiden will, hier eine anschauliche Idee:
$x\in R$ bedeutet, $x$ hat eine Dezimaldarstellung (die bekanntlich nicht-periodisch und nicht-abbrechend sein kann). Die obige Folge $q_n$ kann dann so konstruiert werden:
$q_n$ hat die Dezimaldarstellung von $x$, aber abgebrochen nach der $n$-ten Stelle hinter dem Komma. Dann erfüllt $q_n$ das im Beweis verlangte.
Z.B. $x=\sqrt2$: $q_1=1.4, q_2=1.41, q_3=1.414, q_4=1.4142, q_5=....$

PS: Jetzt hast Du den kompletten Beweis, das mache ich normalerweise hier nicht. Hab aber den Eindruck, Du hast Dich mit der Aufgabe selbst schon seriös beschäftigt (was hier im Forum bei den Fragern nicht so oft vorkommt).
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Vielen lieben Dank, das ist wirklich sehr anschaulich und damit kann ich gut was anfangen. Das hat wirklich sehr geholfen :D   ─   x32kzpu 15.12.2021 um 18:18

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