Analysis, Beweise für Bijektivität

Aufrufe: 362     Aktiv: 12.04.2023 um 21:27

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Habe völlige Überforderung mit der Aufgabe.. ich bekomm zwar auch raus, bzw. verstehe, dass es keine Funktion gibt, aber wie beweise ich dies am besten? 

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Moin,
also, wir wollen zeigen, dass für eine injektive Funktion $$f:\{a,b,c,d,e\}\to\{0,1,...,10\}$$die Abbildung $$g:T\to\{1,...,10\}\\\{i,j\}\mapsto|f(i)-f(j)|$$nicht bijektiv sein kann. Weil $f$ injektiv gewählt war, besteht das Bild von f aus genau 5 verschiedenen Zahlen zwischen 0 und 10. Wir wollen nun das Bild von $f$ so konstruieren, dass $$|f(i)-f(j)|\neq|f(i')-f(j')|$$für $\{i,j\}\neq\{i',j'\}$, wobei $i,j,i',j'\in S$. Das ist gleichbedeutend damit, dass der Abstand zweier Bilder von f für verschiedene Paare von Urbildern unterschiedlich ist. Betrachte nun $f$ mit $$f(a)=0, f(b)=1, f(c)=3, f(d)=6, f(e)=10$$ Es ist klar, dass das die einzige Konstruktion von f ist (bis auf Umordnung), unter der g injektiv ist. Allerdings sieht man auch leicht, dass $8$ nicht im Bild von $g$ liegt, aber in $\{1,...10\}$, also ist g nicht bijektiv. Es kann eine solche Abbildung g also, unter der Bedingung das f injektiv ist, nicht geben.
LG
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Student, Punkte: 3.85K

 

@Downvote der Fragesteller hat angegeben, dass er die Lösung verstanden hat   ─   fix 12.04.2023 um 19:18

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@fix habe das Downvote nicht verteilt, aber vielleicht liegt es daran das du den Beweis geliefert und damit dem Fragy das Selbstdenken abgenommen hast? … das Fragy mag verstanden haben das es eine solche Abbildung nicht geben kann, aber zu Papier bringen warum das so ist war hier das Problem … mich wundert, warum die Frage selbst zwei Upvotes bekommen hat, immerhin wird hier (wie leider sehr oft) blumig nach der Lösung gefragt ohne das man selbst wenigstens versucht hat etwas aufzuschreiben   ─   maqu 12.04.2023 um 21:27

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