Moin,
also, wir wollen zeigen, dass für eine injektive Funktion $$f:\{a,b,c,d,e\}\to\{0,1,...,10\}$$die Abbildung $$g:T\to\{1,...,10\}\\\{i,j\}\mapsto|f(i)-f(j)|$$nicht bijektiv sein kann. Weil $f$ injektiv gewählt war, besteht das Bild von f aus genau 5 verschiedenen Zahlen zwischen 0 und 10. Wir wollen nun das Bild von $f$ so konstruieren, dass $$|f(i)-f(j)|\neq|f(i')-f(j')|$$für $\{i,j\}\neq\{i',j'\}$, wobei $i,j,i',j'\in S$. Das ist gleichbedeutend damit, dass der Abstand zweier Bilder von f für verschiedene Paare von Urbildern unterschiedlich ist. Betrachte nun $f$ mit $$f(a)=0, f(b)=1, f(c)=3, f(d)=6, f(e)=10$$ Es ist klar, dass das die einzige Konstruktion von f ist (bis auf Umordnung), unter der g injektiv ist. Allerdings sieht man auch leicht, dass $8$ nicht im Bild von $g$ liegt, aber in $\{1,...10\}$, also ist g nicht bijektiv. Es kann eine solche Abbildung g also, unter der Bedingung das f injektiv ist, nicht geben.
LG