Moin y.m,

betrachte das Problem mal wie folgt:

\(f(x)=4x\cdot e^{-0,5x}\) (deine Funktion)

Diese Funktion lässt sich in zwei Einzellösungen zerlegen, was uns bei der Nullstellenberechnung (\(y=f(x)=0\)) behilflich sein kann, d.h.:

\(0=4x\cdot e^{-0,5x}\)

mit den Einzelfunktionen \(4x\) und \(e^{-0,5x}\).

Wenden wir nun die Idee, dass ein Produkt immer dann 0 wird, wenn ein Produktpartner 0 wird, an (auch auf Neudeutsch bzw. in der heutigen Zeit auch als "Satz des Nullprodukts" bekannt), dann ergibt sich

\(0=4x\cdot e^{-0,5x}\;\Rightarrow\;\begin{cases}0=4x & \rightarrow x=0\\ 0=e^{-0.5x} & \rightarrow \ln(0)=-0,5x \text{ (nicht lösbar)}\end{cases}\),

was deine Beobachtung durchaus bestätigt, dass es nur eine Nullstelle (\(x=0\)) gibt. ;)Ich vermute übrigens, dass dein Taschenrechner die Werte für \(x\) einsetzt und dass er dann ab \(x>465,5\) nicht mehr vernünftig runden kann; er bekommt also für immer größer werdende \(x\)-Werte Ergebnisse wie beispielsweise (als Idee)

\(f(x)=0,0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000035345\)

raus, was irgendwann (für immer größer werdendes \(0\)) automatisch auf \(0\) gerundet wird.

Das ist aber ein technisches Problem ("Nachkommastellen-Rundung") und hängt damit zusammen, dass ein Computer / Taschenrechner nur eine bestimmte Rechenkapazität besitzt, d.h. irgendwann anfangen muss zu runden, weil seine physische Rechenkapazität ausgelastet ist. Die Rundung interpretiert der Taschenrechner dann als 0, obwohl das eigentlich nicht der Fall ist.

Mein Tipp:

Vergiss' auch gern ab und zu mal den GTR und die Technik - auch die macht manchmal (oder wie in deinem Fall) auch nicht immer alles richtig. Von Hand rechnen zu können hat definitiv die größeren Vorteile. :P
Vertraue im Zweifelsfall dann doch eher der Algebra und deinem mathematischen Vorwissen, denn sie erlaubt es dir (in der Regel) alles autonom und selbstständig zu lösen (und das auch, wenn mal kein Taschenrechner zur Hand ist)! Und falls was nicht klappt: Stell' selbstverständlich immer Fragen. :)

Hat übrigens auch Vorteile, wenn's mal in's Studium oder so gehen sollte. Da sind Taschenrechner übrigens (zumindest bei mir in der Physik bzw. Ingenieurwesen) in den Klausuren manchmal gar nicht erlaubt. ;)

Hoffe das hilft!

Liebe Grüße! :)

P.S.: Achte drauf, dass du hier nicht zwei unterschiedliche Fragestellungen miteinander vermischst.

Grundsätzlich geht es bei deiner Fragestellung darum, wie die Nullstellen der Funktion aussehen bzw. berechnet werden.

Deine Anmerkung mit "die Funktion läuft doch eigentlich gegen 0" beschreibt eine Fragestellung, die sich mit Grenzwerten (\(\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}{}\) und so) beschäftigt. Es stimmt zwar, dass

\(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}{e^{-0,5x}}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}{\frac{1}{e^{0,5x}}}\rightarrow 0\)

gegen 0 läuft - das hat aber mit deiner Frage bzgl. der Berechnung von Nullstellen nichts zu tun. Oder naja, ehrlich gesagt nur indirekt, weil das die Ursache für das "Rundungs-Problem" deines Taschenrechners ist, wenn die Werte immer kleiner werden. :P