Wendepunkt in Kurvendiskussion

Erste Frage Aufrufe: 25     Aktiv: 22.04.2021 um 16:34

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Hallo! Nehme ich für die Bestimmung eines Wendepunktes die 2. oder die 3. Ableitung? Für die Steigung und Extrema nehme ich die 1. Ableitung? 
Oder anders.. Wann nehme ich die 1. wann die 2. und wann die 3. Ableitung in einer Kurvendiskussion? Tausend Dank! Beste Grüße Kathrin
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Hallo Kathrin!

Mit der 1. Ableitung berechnet man Steigungen. Daher verwendet man sie, um Hoch- und Tiefpunkte zu berechnen, da die Funktion dort die Steigung 0 haben muss. (Die Tangenten, die man dort an den Graphen anlegen kann, sind waagerecht, sprich parallel zur x-Achse. Sie haben somit die Steigung 0.)

Wendepunkte sind immer Punkte auf dem Graphen einer Funktion, wo die Steigung entweder maximal groß oder aber minimal klein ist. Das bedeutet, dass die Funktion, die die Steigungen berechnet, dort entweder einen Hoch- oder aber einen Tiefpunkt haben muss und das wiederum heißt, dass die 1. Ableitung dort einen Hoch- oder Tiefpunkt haben muss. Also schaut man sich an, wo die Ableitung der 1. Ableitung - und das ist die 2. Ableitung - gleich 0 ist. Die 3. Ableitung benötigt man nur zur Kontrolle. Hat man eine Nullstelle der 2. Ableitung berechnet, so setzt man diese Nullstelle in die 3. Ableitung ein und kontrolliert, dass diese dort einen Wert ungleich 0 hat. Ist das der Fall, dann handelt es sich mit Sicherheit um einen Wendepunkt. (Bei den Hoch- und Tiefpunkten macht man es ja genauso. Wenn man eine Nullstelle der 1. Ableitung hat, so setzt man die in die 2. Ableitung ein und kontrolliert, dass dann ein Wert ungleich 0 herauskommt.)

Ich hoffe, das hilft dir weiter.

Gruß, Ruben
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Die 1. Ableitung ist die Steigung der Funktion f(x).. An Extremwerten ist die Steigung =0 (notwendige Bedingung).
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f´´(x) =0 . Nur wo die Bedingung erfüllt ist kann ein Wendepunkt \(x_W\) sein (muss aber nicht).
Um das zu verifizieren, braucht man die 3.Ableitung (hinreichende Bedingung für Wendepunkt: \( f´´´(x_W) \ne 0\)
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