Zeige, dass f an der Stelle a stetig ist.

Aufrufe: 541     Aktiv: 20.11.2020 um 12:05
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Sei g : R → R eine Funktion, die an der Stelle a stetig ist. Weiter sei h : R → R eine beschränkte (aber nicht notwendigerweise stetige) Funktion. Wir definieren eine neue Funktion f : R → R durch f(x) := h(x)(g(x) − g(a)) für alle x ∈ R. Zeigen Sie, dass f an der Stelle a stetig ist.

 

Kann mir jemand sagen, wie ich anfangen kann, diese Aufgabe zu lösen bzw. welchen Ansatz ich dafür brauche?

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Student, Punkte: 10

 
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Du kannst direkt mit dem \(\varepsilon\)-\(\delta\)-Kriterium arbeiten: Sei \(\varepsilon>0\). Schau mal, ob du \(|f(x)-f(a)|=|h(x)(g(x)-g(a))|\) durch \(|g(x)-g(a)|\) und Konstanten abschätzen kannst. Beachte dabei, dass \(h\) beschränkt ist, d.h. es gibt ein \(M\in\mathbb R\) sodas \(|h(x)|<M\) für alle \(x\in\mathbb R\). Benutze dann, dass \(g\) stetig in \(a\) ist. Wie musst du dein \(\delta\) wählen, damit am Ende \(<\varepsilon\) rauskommt?

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Wenn ich \(|x-x_{0} |<\ delta \) wähle, müsste \(|f(x)-f(x)_{0} |<\ epsilon \) rauskommen, oder?   ─   sam123 20.11.2020 um 11:37
Nein, du musst \(|x-a|\) so wählen, dass \(|g(x)-g(a)|<\frac\varepsilon M\) ist, dann funktioniert's. Warum kannst du das so wählen?   ─   stal 20.11.2020 um 11:52
Das weiß ich leider nicht. Bei dem Thema habe ich noch Schwierigkeiten...   ─   sam123 20.11.2020 um 11:55
Du weißt, dass \(g\) stetig in \(a\) ist. Also gibt es für jedes \(\varepsilon'\) eine \(\delta'\)-Umgebung von \(a\), sodass \(|g(x)-g(a)|<\varepsilon\) für alle \(x\) mit \(|x-a|<\delta'\). Setzt du nun \(\varepsilon'=\frac\varepsilon M>0\), dann geht alles auf. Dein vollständiger Beweis sollte ungefähr so aussehen:

Sei \(\varepsilon >0\). Weil \(h\) beschränkt ist, gibt es ein \(M>0\), sodass \(|h(x)|0\), sodass für alle \(x\in\mathbb R\) mit \(|x-a|<\delta\) gilt, dass \(|g(x)-g(a)|<\frac\varepsilon M\). Nun gilt auch für alle solche \(x\), dass \(|f(x)-f(a)|=|f(x)|=|h(x)||g(x)-g(a)|   ─   stal 20.11.2020 um 12:03
Danke. Das hilft mir, das ganze besser zu verstehen!   ─   sam123 20.11.2020 um 12:04

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