Es geht im Grunde genommen darum, dass du die allgemeine Form einer Parabel hast, also \(f(x) = ax^2 + bx + c\). 
Du hast dort jetzt 3 Punkte gegeben, \((-1|-2), (0|-1), (1|2)\). Daher weißt du, dass folgendes gilt:

\(f(-1) = -2\)
\(f(0) = -1\)
\(f(1) = 2\)

Wenn du das jetzt in die Allgemeine Form einsetzt, erhählst du dein Lineares Gleichungs System. Das Einsetzten funktioniert, indem du den x-Wert in die Allgemeine Gleichung einsetzt und das dann dem y-Wert gleichsetzt. Beispielsweise beim ersten Punkt:

 \(f(x) = ax^2 + bx + c => f(-1) = a\cdot (-1)^2 + b\cdot (-1) + c\) 
Jetzt weißt du ja schon, dass \(f(-1) = -2\) und erhälst:
\( -2 = a - b + c\) 

Das machst du auch mit den anderen Punkten und am Ende hast du:

\(I: -2 = a - b + c\)
\(II: -1 = c\)
\(III: 2 = a + b + c\)


Oder wie es bei dir im Buch steht:

\(a-b+c=-2\)
\(c=-1\)
\(a+b+c=2\)

Am Ende geht es dir darum, dass du die Variablen \(a, b\) und \(c\) herausfindest, damit du die Funktion hast, welche abgebildet ist. In der 2. Gleichung steht schon direkt, was \(c\) ist, nämlich \(-1\). Das hilft schon mal.

Jetzt heißt es einsetzen, das klingt vielleicht wenn man es das erste Mal hört komisch, aber eigentlich heißt es nur, dass du das \(c\) aus der \(1.\) und \(2.\) Gleichung gegen \(-1\) austauschst.
Da wir die 2. Gleichung schon gebraucht haben und wir keine Gleichung doppelt brauchen, fällt diese weg und wir erhalten ein kleineres LGS:

\(a-b-1 = -2\)
\(a+b-1 = 2\)

Wenn wir auf beiden Seiten \(+1\) rechnen, wird das noch schöner:

\(a-b = -1\)
\(a+b = 3\)

Jetzt kommt der eigentlich schwierige Part, denn jetzt haben wir nichts vorgegeben. Doch wir können die beiden Gleichungen addieren (Additionsverfahren), dafür addieren wir einfach die linke Seite vom Gleichzeichen der ersten Gleichung mit der der 2. Gleichung (das gleiche auch mit der rechten):

\(a-b + a + b = -1 + 3\)

Hierbei kürzt sich das \(b\) weg und wir erhalten unser gesuchtes \(a\):

\(a + a = 2 \)        \(|T\)
\(2a = 2\)             \(|:2\)
\(a = 2\)

Jetzt haben wir also auch \(a\), fehlt nur noch \(b\). Um das zu bekommen, nutzten wir den gleichen Trick wie auch schob mit den \(c\); Wir setzten unser \(a\), welches ja \(1\) ist, einfach ein. Zum Beispiel in die Gleichung \(a-b =-1\) von vorhin:

\(a-b =-1\)            \(|a=1\)
\(1-b =-1\)            \(|+b\)
\(1 =-1 + b\)         \(|+1\)
\(2 = b\)

Damit wäre es auch geschafft, wir haben jetzt erfolgreich die Variablen \(a=1, b=2\) und \(c=-1\) gefunden. Als letztes setzten wir die in \(f(x)\) ein und haben die Funktion, nach der wir gesucht haben:

\(f(x) = 1\cdot x^2 + 2\cdot x + (-1)\)      \(|T\)
\(f(x) = x^2 + 2x - 1\)


Ich hoffe ich konnte dir helfen, wenn ja, würde ich mich freuen, wenn du neben meiner Antwort den Haken anklickst (damit sagst du, dass ich dir helfen konnte). Wenn du noch fragen hast, kommentiere einfach diese Antwort und ich probiere weiterzuhelfen.

Grüße 
Cedric