Isometrien

Aufrufe: 228     Aktiv: 03.10.2023 um 00:18
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Hallo :)
Isometrien sind ja strukturerhaltende Abbildungen, sodass quasi der Abstand von den Bildern von zwei Punkten derselbe ist wie der Abstand von den beiden Punkten selbst.
In der euklidische Geometrie sind Isometrien ja abstandserhaltend, winkeltreu und flächentreu. Gilt dasselbe auch für die hyperbolische Geometrie? :)
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Student, Punkte: 79

 
Yes, Stichwort sind Möbiustransformationen.   ─   zestysupreme 02.10.2023 um 21:42
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Ja, jede Matrix  $ \pm \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in PSL(2, \mathbb{R}) \cong SL(2, \mathbb{R})/\{ \pm I\}$  korrespondiert zu einer Möbiustransformation 

$$\phi: \mathbb{H} \to \mathbb{H}, z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}. $$

Das sind dann gerade die Isometrien der oberen Halbebene. Das $\pm$ fällt hier raus. Jetzt kannst du nachrechnen, dass diese gerade die hyperbolische Metrik erhalten. Dadurch sind sie automatisch winkeltreu und flächentreu.

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